笔记：计算机组成原理——第六章

第六章 计算机的运算方法

6.1 无符号数和有符号数

一、无符号数

• 例如：8位寄存器的范围为00000000-11111111，表示0~255

二、有符号数

1.机器数与真值

• 定点计算器分为两类：小数定点器——小数点在符号位后面；整数定点器——小数点在数值位后面

• 在计算器当中，没有专门的硬件来表示小数点，小数点是以约定的方式给出的

2.原码表示法

• 如果是负数有n位数值位，在n+1位符号位变为1，相当于给数据的绝对值加2^n

• 当数值部分为n位时，最大值为数值位全1，能表示的最大值为2^(n-1)

• 注意：如果x=0，计算出的原码可能正0和负0有两种表达方式

• 符号位是0表示正数，是1表示负数

• 如果是负数有n位数值位，在n+1位符号位变为1，相当于给数据的绝对值加1

• 真值的0.表示小数，原码的0.表示正负

• 在机器码中，无论是整数的逗号还是小数的小数点，在计算机中都是不需要存储的，仅仅为人阅读方便

• 注意：原码表示保存在计算机中的数据，存储单元位数位数有限，求原码时需要知道机器数或其数值位的长度和包含符号位的位数

• 原码：正0（0,0000）和负0（1,0000）的表示不相同

3.补码表示法

• 2^(4+1)=24（加上一个模得补数）+2^4（加一位符号位1区分正负数）

• 补码形式最小可以表示到-2^n，也就是1,0000，n不包括符号位

• 补码：正0和负0（0,0000）表示相同

• 此处为模2的算法，相应的模4为时，小数点前面为两位，即模8为三位

• 做减法时，可以将100000转化为11111+1进行计算

• 注意：快捷方式的真值必须为负数；考虑计算机规定的字长

• 70转换二进制64+4+2，为1000110

• 补码为1.0000表示-1，原码为1.0000表示-0

• （问题：-1的补码用小数定点机可以表示为1.0000，但是为什么按位取反加1求原码真值为1.1111）

• （解答：原码小数的定义域不包括-1，也要注意在整数定点机中-1的补码为1,1111）

4.反码表示法

• 反码：与补码相比，少末尾加1

• 反码：正0（0,0000）和负0（0,0000）表示不相同

5.移码表示法

• 注意：不管正负数均加2^n；移码只有整数形式的定义，通常用来表示浮点数据表示的阶码部分，而阶码均为整数

• 机器数的正0和负0：补码和移码的表示相同，原码和反码的表示不相同

6.2 数的定点表示和浮点表示

一、定点表示

• 如果是补码形式，小数定点机能表示的唯一整数为-1

二、浮点表示

• 如果尾数的基值取4，尾数中的两位二进制数表示了一位四进制数

• 2^{10中10为2的二进制表示，2}100中100为4的二进制表示

1.浮点数的表示形式

2.浮点数的表示范围

• 浮点数的表示范围由阶码的范围大小来决定

• 上溢：计算机系统按照计算出错处理；下溢：按照机器零处理

• 阶码基本决定数值大小，尾数范围0~1

• m=4：因为15的二进制表示法需要4位

• 尾数的长度影响数的精度，如果要保证精度，尾数要尽可能的长，因此阶码位数尽可能的少

3.浮点数的规格化形式

• 作用：尽可能的保证数据的精度，让尾数的有效位数更多

4.浮点数的规格化

• 通过对尾数数据左右移，移除左侧多余的0

• r=2使尾数的最高位为1；r=4尾数最高两位不等于0，阶码加1每次移动两位

• 通过调整阶码部分，保证数据的真值不发生变化
  

三、举例

• 19=16+2+1；除128数据向右移动7位，移动一位相当于除2

• 在定点机中：因为数值为正数，原码补码反码都相同

• 在浮点机中：尾数和阶码的数值分别表示；因为阶码为负，阶码的原码补码反码不同，但尾数的原码补码反码相同

• 定点数转浮点数，因为数据右移了6位，要乘2^{110相当于2}6

• 定点表示：数值部分要求10位，加上符号位0，共11位

• 浮点表示：阶码部分数值位要求4位，加上符号位0，阶码表示共5位

• 阶码为正数，只有用移码表示时，阶码要发生改变

四、IEEE 754标准

• 注意：数值的符号位在最前面，阶数的符号位在阶码中

6.3 定点运算

一、移位运算

1.移位的意义

• 在计算机中，小数点以约定的方式给出，计算机中没有硬件用于表示小数点，因此计算机中的移位，指数据相对于小数点左右移

2.算术移位规则

• 负数补码左移添0，因为原码末尾为0的，补码取反加1仍为0（右上角例题）

• 数值位左移一位：真值变为原来的两倍；数值位右移一位：真值变为原来的一半

• 右移的最后一位可能会丢1；（正数）原码补码反码均导致数值变小

• 右移的最后一位可能会丢1；（负数）原码表示导致数值绝对值变小，补码表示导致数值绝对值变大

• 右移的最后一位可能会丢0；（负数）反码表示导致数值绝对值变小

3.算术移位的硬件实现

• 正数原码右移、负数补码和反码右移，相当于符号位自我复制后，符号位再移到数值位的最高位

• 丢失数值位时，如果对应这真值中的0，不影响精度；如果对应着真值中的1，可能变大可能变小

4.算术移位与逻辑移位的区别

• 逻辑移位：全部数值位都移

• 算术移位：符号位不变，从第二位的数值位移

二、加减法运算

1.补码加减法运算的公式

2.举例

• 注意：把数字放入计算机中时，必须要考虑寄存器和存储单元的长度、机器数的字长

• 求B的负数的补码：用B的补码，符号位取反，数值位取反末位加1

• 练习一错误：正确值为20/16，超出了小数定点机最大范围1

• 练习二错误：正确值为+138，超出了整数定点机的范围-128~127

3.溢出的判断

• 模为4表示右移两位，补码表示应该左边补1

• 结果的双符号位不同表溢出，10,…或01,…两种情况；其中第一个符号位为真正符号位，第二个符号位为数值运算溢出部分

• 两位符号位相当于一位符号位增加一个储存数值位的进位

4.补码加减法的硬件配置

• 加法器——为核心，完成两个补码的加法运算

• A——ACC寄存器，保存被加数

• X——寄存器，保存加数或被减数

• GA、GS——加法标记GA为1，减法标记GS为1，用来控制求补运算

• 求补控制逻辑——如果进行减法运算，x的补码转化为-x补码；只实现让x补码每位取反，末位加1其他部件实现

• 关于全加器：一共有三个输入，两个输入加法相应位，一个输入进位；每位取反，在加法器和寄存器之间添加反向器；末尾加一，通过第一位的进位实现

三、乘法运算

1.分析笔算乘法

2.笔算乘法改进

• 部分积的初始值为0
• 累加结果右移一位得到新的部分积，再与乘数末位决定的被乘数相加，乘数也需不断右移

3.改进后的笔算乘法过程（竖式）

• 部分积右移之后，多出来的位数放在乘数的存储器中

• 最后还要右移一位得结果，结果应为不带符号位的数值部分，为0.10001111

• 结果的符号位通过异或电路来获得

• 需要n次加法和移位，n为参加运算的数据的数值部分

• 3个寄存器：一个保存被乘数——x寄存器，一个保存乘积的高位——ACC寄存器（其与被乘数相加），一个保存乘数的剩余部分和部分积的低位——MQ寄存器

• 2个移位功能：一个保存累加和的高位和低位的寄存器，一个乘数部分的乘商寄存器；被乘数寄存器不需要移位功能

• 1个全加器：被乘数和部分积高位的相加的操作，全加器只需要n+1位，而不是2n+1位，因为加法操作只加高位部分

4.原码乘法

• 原码乘法的数值部分运算采用绝对值的运算，因此进行逻辑右移

• 此时在第n+1位的符号位的数值位1，是数值位运算的进位，也要右移到数值部分

• 注意：最后加完被乘数之后，需要逻辑右移一位

• 原码乘法结束标志：经过了n次加法（不一定，乘数末位为0可以不进行加法）和n次移位（一定）

• A——寄存器ACC，有n+1位，此处的最高位不是符号位，是进位

• x——寄存器x，保存被乘数，计算过程中保持不变

• Q——乘商寄存器MQ，初始时保存乘数，一边计算一边移位，高位部分逐渐被累加和的低位部分占据，直到所有的乘数数值位部分被移除

• 计数器C——用来记录移位次数，初始时数值部分位数n开始，每次减1直到0为止

• 符号位s——两个数的符号位进行异或运算

• GM——乘法标志

• 移位和加控制——由乘数的末位控制，为1就累加一次然后右移一位，为0可以不做加法直接右移

四、除法运算

1.分析笔算除法

• 被除数和除数比较，大于就商1，小于就商0

• 商完被除数末位加0，除数右移一位，再比较

2.笔算除法和机器除法的比较

• 笔算除法中除数右移的目的是比大小，因此也可将余数左移比较，减少所需的加法器数据长度

3.原码除法

• 在小数定点机中，保存的数据均为小于1的小数形式，因此结果依然要为小数，被除数要小于除数；整数同理
• 被除数如果等于0，不需要进行除法操作，直接判0操作
• 除数如果等于0，会出现异常操作

• 移位后的余数和除数绝对值比较，通过减法操作进行，相当于加上负y的补码l来进行计算

• 进行减法操作比较后，若为负数则需要商0恢复余数，然后将余数逻辑左移，再和除数进行比较；若为正数，商1直接左移比较

• 在小数定点机中原码只能表示小于1的数，若第一次上商为1就判为溢出

• 余数左移一位，相当于乘2操作

• 初始时，用被除数绝对值减除数绝对值（加负除数绝对值补码）
• 看当前余数的正负，正数商1左移减除数绝对值（加上其负数补码），负数商0左移加除数绝对值

• A——寄存器ACC，保存被除数和余数

• x——寄存器x，保存除数

• Q——乘商寄存器MQ，保存商，商的最低位控制加减交替

• 移位和加控制——由商的末位来确定加除数还是其负数的补码，余数和商都要左移

• 计数器C：移位次数n或加法次数n+1作为除法停止标志

• GD——除法标志

• S——符号位，进行异或运算

• V——表示溢出

6.4 浮点四则运算

一、浮点加减运算

• 浮点数运算，阶码和尾数的机器数都用补码表示

1.对阶

• 如果左移，尾数高位丢失数据偏差大；如果右移，尾数低位丢失只有精度偏差

• 小阶向大阶看齐，当阶数加1时，尾数要向右移一位

• 求阶差：比较阶的大小用减法，相当于加上其负数补码

• 对阶：阶码变为相同，尾数向右移相差的单位

2.尾数求和

3.规格化

• 尾数符号位为00.或11.考虑左规，为01.或10.考虑右规

• 左规：符号位为11时，左移去1不影响数值；符号位为00时，左移去0不影响数值

• 右规：尾数为01.或10.时，01.中0是真正的符号位，1是数值位为两个正数相加的溢出

4.舍入

• 数据的长度超过了计算机中所能存储数据的长度，要对低位数据进行处理，保持较好的精度

• 计算机中存储机器数的形式：运算过程采用补码形式；阶符和尾符的符号位部分均取2位，更容易判断溢出

• 对阶过程和尾数求和过程，如果出现了溢出，直接先舍去溢出位
• 右规操作是对于尾数部分进行的

5.溢出判断

• 可表示的数据是离散的，相邻两个点之间的数只能近似表示

• 下溢：按照机器零处理；上溢：按照出错处理

• 最大负数和最小整数的尾数要进行规格化形式

6.5 算术逻辑单元

一、ALU电路

• 蓝色符号为ALU代表运算器，A和B代表参加运算的数据，F表示运算结果，K表示进行运算的类型
• ALU为组合逻辑电路，没有记忆功能，AB输入数据消失F输出也会消失，因此A和B端要链接寄存器，F端也要链接寄存器来保存运算结结果
• ALU 74181可以进行四位数的算术运算和逻辑运算；M和S为控制端

二、快速进位链

1.并行加法器

• 三个输入：A和B是参与运算的数值，C为低位的进位
• 两个输出：S为和的结果，C为向高位的进位
• 由S的表达式看出，最影响和结果S的运算速度为进位C

2.串行进位链

• 进位表达式的求解运用了德·摩根定律，转化为与非门

3.并行进位链

• 进位表达式转化为与或非门