理解对数——你需要了解的方方面面

要点：

(1) John Napier 被认为是理解和发表对数原理的第一人。

(2) 对数的定义是具体数的幂或指数形式，它自乘以产生另一个数。

(3) 对数有很多例子和实际用途。

(4) 对数发展的时间轴。

1. 什么是对数

对数就是一个数的幂(power)(例如， 整个形式称为幂)的表示形式的指数(exponent)(我们假定 ,写成对数表达式的形式 ，则x就是对数，即在幂的表达式中的指数，就是对应对数表达式中的对数,只不过我们要求这个指数的时候，需要按对数的公式反过来求)，这个幂自乘一个数(基底)可以产生另一个数(以幂的形式表示)。 在计算器和各种类型的复杂计算机被发明之前，科学家和数学家很难计算出极大的数字。 对数可以帮助他们实现这一目标(注：大大简化了运算)。例如，4自乘5次，写成幂的形式 。写成连乘的形式为4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024。非数学专业的人有时很难理解对数如何适应现实世界并与之相关。然而，对数在整个科学和数学中都被用来寻找各种难题的解决方案。大多数时候，对数中使用的数比上述示例中使用的数字大得多。

2. 对数的一种准确定义

对数的精确定义是具体数的幂的指数或指数，通过基底自乘产生另一个具体的数。对数以最简洁的形式描述数学中的捷径。例如，乘法基本上是加法的捷径(shortcut)(例如，3 × 5 = 5 + 5 + 5)，指数是乘法的捷径(例如， )。 对数是指数的捷径(例如， )。

对数中存在一些相当容易理解的模式。例如，100以10为底的对数是2。1000以10 为底的对数是3。理解自然对数也很重要，它从时间和增长的角度解释对数。对数使用了数百年，直到19世纪末机械机器能够计算更大的数字，最终计算机在 20 世纪接管了这项任务(注：对数计算方法并没有改变)。

构建对数表的问题是使连续项之间的间隔足够小以用于有意义的计算。对数表已被电子计算器和有对数功能的计算机所取代。每个对数包含一个整数和一个十进制的小数，分别称为首数(characteristic)和尾数(mantissa)。在常用的对数制中，数字7的对数的首数为0，尾数为0.84510，写作0.84510。70的对数是1.84510，700的对数是2.84510。数字 0.7 的对数是-0.15490。

3. 对数如何执行

对数通过提供一种方法来工作，该方法允许通过加法和减法来完成更复杂的数学运算，例如代替乘法、除法和求根。 所有数都可以用现在所谓的指数形式表示，这意味着8 可以写成 2的指数形式，25 可以写成 5的指数形式，依此类推。

对数之所以如此有用，是因为乘法和除法运算简化为简单的加法和减法。当非常大的数表示为对数时，乘法就变成了指数的加法。对数可以加快并简化计算。使用它们可以大大地减少乘以大数所需的时间。

科学家可以找到两个不同数x和y的乘积，方法是查找每个数的单独对数，将对数相加，然后查表以找到具有该计算对数的确切数。这称为它的反对数。

还有一些对数定律或规则可用于帮助指导那些使用对数的人。不同的表将包含与对数相关的不同法律或规则。以下是一些关于对数的最基本规则(底为任意数，故记为log)：

(1) 第一法则

log(A） + log(B ) =log(A.B)

(2) 第二法则

(3) 第三法则

(4) 其它性质

log(1) = 0,

-----------------图1 1624 年的 Gunter 比例尺原图---------------------------

4.如何创建对数

创建对数首先要理解如下所示的基本公式。 ，因为 。创建对数是基于这样的理解，即等比级数中的乘法或除法与相应数的加法或减法相关。作为指数定律的一部分，我们可以更好地理解这个过程。将这些数放入表将使困难的计算变得更容易。

从数据创建对数时需要遵循几个步骤。该过程可以通过将输入值放在一列中并将输出值放在另一列中以执行对数回归来开始。还有表示对数的对数图。一种类型的图表可能包括在一个轴上使用对数刻度，在另一个轴上使用线性刻度。

对数函数可以理解为指数函数的反函数。对数函数是 f(x) = log b(x)。常数“b”是对数的底数。理解这个概念的另一种方法是，在绘制对数函数和反函数时，它还绘制了直线 y = x。反函数及其对数函数是关于直线y = x对称的。

-----------------图2 Oughtred 的比例圆---------------------------

-----------------图3 Robert Bissaker 的计算尺---------------------------

5. 谁发明了对数

对数的概念在大约公元前1800 年的古巴比伦就已为人所知。发现了粘土板，其中包含具有连续整数幂的表格。然而，苏格兰人JohnNapier因理解对数的实际工作原理而被授予发明家称号。

1594 年，Napier开始研究三角表，并花了20年时间完善它们。他最伟大的数学著作 <<MirificiLogarithmorum Canonis Descriptio>>(Description of the MarvelousCanon of Logarithms)(奇妙的对数法则说明书)于1614 年出版，在书中详细介绍了对数概念和如何制作对数表。

1614 年底，当时最著名的英国数学家之一Henry Briggs(1561-1631年)是伦敦格雷欣学院的几何学教授，他获得了Napier的“对数说明书”的副本，并于次年3月写道：“Napier, lord of Markinston, hathset my head and hands at work with his new and admirable logarithms. I hope tosee him this summer, if it please God; for I never saw a book which pleased mebetter, and made me more wonder(Napier，Markinston的领主，让我的头脑和双手开始研究他令人钦佩的新对数。如果上帝高兴的话，我希望今年夏天能见到他；因为我从来没有见过比这更让我高兴，让我更加惊奇的书)。”

Napier于1617年去世，Henry Briggs继续在1624年出版了一个计算到小数点后14位的对数表。这些对数用于 1 到 20,000 的数字以及 90,000 到 100,000 的数字。荷兰出版商 Adriaan Vlacq 创建了一个表格，其中添加了缺失的70,000 个值。

虽然还有其他人，包括瑞士教师 JoostBürgi(1552-1632年)对对数原理做出了贡献，但大多数历史学家通常认为Napier是主要发明者，他以最清晰和简单的方式提出了对数的原始概念。值得注意的是，Napier不是通过代数的角度来看待对数，而是通过几何的方式。

几个世纪以来，许多科学家和数学家能够在 Napier、Briggs 和 Bürgi 的初步工作的基础上，扩大对数学领域的理解，并创造出至今仍在使用的各种仪器。这包括Edmund Gunter 的对数尺和 William Oughtred 的计算尺和圆形计算尺。

-----------------图4 James Watt 的计算尺Soho ---------------------------

-----------------图5 Fuller 的计算尺---------------------------

6. 对数有哪些应用

对数有很多例子和实际用途。主要应用之一是求解幂问题的解。对数表由Henry Briggs 于1617年整理而成，可以帮助个人完成解决对数数学问题时的步骤。这是Napier发明对数后不久完成的，但这张表以10为基数(base或radix，或root)。 Briggs的第一个表包括从 1 到 1000 的所有整数的基本对数。

计算尺是一对用于计算的刻度尺，是对数的一种应用。没有计算器的帮助，计算尺可以利用数轴解决问题。

一些法律和理论包括对数的使用。 示例包括关于公平抛硬币的概率论和定律。正面与反面的比例基于迭代对数定律。

-----------------图6 Thacher的计算尺---------------------------

7. 现实世界中对数应用的例子

在现实世界的实践中有几个对数的具体例子。

(1) 测量地震(Measuring Earthquakes)——对数函数是里氏震级的一部分，用于测量地震的震级。这具体与地震时释放多少能量有关。地震仪检测地球的运动。由于规模的对数系统，地震震级的每个整数增加表示振幅增加十倍。

(2) 测量声音分贝(Measuring Sound Decibels)——分贝测量是使用对数的另一个例子。根据 Physclips 的说法，分贝是测量声级的对数单位。它也经常用于电子和通信领域。

(3)测量pH平衡——化学中的对数可用于测量各种物质的酸度和碱度。有显示不同物质的工作表和用于计算pH 值的对数公式。

8. 对数发展的时间轴(timeline)

• 1550——John Napier1在苏格兰Edinburgh出生。

• 1552——Jobst Bürgi在瑞士(Switzerland)出生。

• 1588——Bürgi开始了他独立于Napier的对数研究。

• ~1594——John Napier开始制作他的对数表，并在接下来的二十年里完成了工作。这些表用于三角函数应用，给出了从30°到90° 角的正弦值的对数。尽管Napier实际上并没有在他的对数中使用自然对数的底e，但可以说他的底数大约是 。

• 1614——Napier 发表了“Mirificilogarithmorum canonis descriptio(奇妙对数法则说明书)”,在说明书中描述了他发明的对数。

• 1615年3月10号——Henry Briggs给Napier写了一封信，大致说明了Napier使用他的基数(

) 的问题，以及为什么他不使用基数 10 和 log 1= 0。Napier回答说，他也有这个想法，但由于生病无法创建表。

• 1615年夏天——Henry Briggs 拜访了John Napier，他们花了一个月的时间制作以 10 为底的对数表。

• 1616——Henry Briggs 第二次拜访John Napier。

• 1617年4月10号——John Napier逝世。

• 1617——Briggs 发表了他的“LogarithmorumChilias Prima(从1到1000的自然数的对数)”，其中包含以10 为底数的对数表。

• 1619——“Mirifici logarithmorum canonisconstructio(奇妙对数法则构造)”一书出版，书中讨论了Napier 用于构造他的对数的方法。

• 1620——Bürgis发表了“Arithmetische und GeometrischeProgress-Tabulen(算术与几何进展一览表)”一书，由于随后30年的战争，Bürgi的工作没有引起人们注意。

• 1622——William Oughtred 发明了计算尺，它提供了一种更快的计算对数的方法。

• 1632——Jobst Bürgi逝世。

• 1675——Newton(牛顿)发现了 这个事实。

• 1685——John Wallis 认识到对数可以定义为指数形式。

• 1694——Johann Bernoulli 也认识到对数可以定义为指数形式。

• 1694——至此，对数已发挥其全部潜力，1694 年之后所做的大部分工作都只是计算不同底数的对数。

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