趣味三角——前言和序言

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信号与系统matlab pdf,信号与系统：Matlab分析与实现信号与系统：Matlab分析与实现下载 mobi epub pdf☆☆☆☆☆陈金西编下载链接在页面底部发表于2021-03-17类似图书点击查看全场最低价图书介绍出版社：厦门大学出版社ISBN：9787561557877版次：1商品编码：11882648包装：平装丛书名：应用型本科电类专业规划教材开本：16开出版时间：2016-01-01用纸：胶版纸页数：566字数：882000正文语种... 阅读详情

1. 前言

2. 序言

2.1 抄写员Ahmes，公元前1650年

2.2 古埃及的趣味数学

1. 前言

There is perhaps nothing which so occupies the middle position of mathematics as trigonometry. (也许，没有什么东西像三角学一样占据数学的中心位置。)

—J. F. Herbart (1890)

本书不是一本三角学教材——因为已经有很多三角学教材——本书也不是一部专题的大全历史，因为几乎没有大全的历史。而是一次尝试从历史的角度展现所选的三角学主题，展现它们与其它科学的关系。出于我对这个专题的爱好。但是也出于我对我们的大学教授三角学方式的失望。

首先，谈一下爱好问题。在我的高中生涯的高年经阶段，我有幸遇到了一位十分优秀的老师，一位精力充沛的男老师，他教数学和物理。他是一位严肃而要求很高的老师。他不能忍受你上课迟到或者无故缺席一场考试——你最好确保你没有这些行为，否则它将反映成你的成绩单上。如果你没能做家庭作业或者考试考得不好，处罚可能更严厉。我们害怕他，被他训斥时浑身发抖，害怕他联系我们的父母。然而我们尊敬他，他成为我们许多人的榜样。最重要的是，他向我们展示了数学与现实世界的相关性——尤其是与物理学的相关性。这意味着要学习大量的三角学知识。

多年以来，他和我始终保持着友好的联系，并且我们还见过几次。他非常有主见(is opinionated)，无论你讲什么话题——数学或者其它——他都可以和你讨论，通常还占据上风(prevail)。在我完成我的大学学习数年后，他会让我意识到，他仍然是我的老师。他出生在中国，是一个二战时逃离欧洲的难民家庭，后来迁入以色列(Israel)，在Jerusalem的Hebrew大学开始了求学生涯，只在以色列独立战争期间被征召入伍，后来，他加入了特拉维夫(Tel Aviv)大学，并在没有博士学位(Ph.D)的情况下获得了终身教职(tenure)——获此殊荣的唯二人选之一。1989 年，在每周一次的例行数学史讲座中，他突然倒下当场死亡。他的名字叫Nathan Elioseph。我非常怀念他。

现在说一下我对大学教学三角学的失望。在1950年代晚期，随着早期苏联(Soviet)在太空领域的成功(I号人造卫星Sputnik于 1957 年 10 月 4 日发射；我记得日期——那是我二十岁生日的那天)，有人呼吁改造(revamp)我们的教育系统，尤其是科学教育系统。新的理念和新的程序突然激增(proliferated)，所有这些都是为了缩小(close)我们和苏联之间的技术差距(一些人敢于质疑差距是否真的存在，但他们的声音在普遍的狂热(frenzy)中被席卷一空(swept aside))。这些是美国科学教育的黄金年代。如果你对如何教授一个科目有一些新颖的想法——而且通常你并不需要那么多——那么你几乎可以确保可以获得一笔拨款来从事这门学科。因此，诞生了“新数学”——一种尝试，让学生“明白”他们正在做什么，而不是像已经执行了数代那样的方法，让学生服从于死记硬背式的(rote)学习和记忆。大量的时间和金钱花在开发数学教学的新方法上，重点是抽象概念，如集合论、函数（定义为有序对的集合）和形式逻辑。研讨会(Seminars)、讲习班(Workshops)、新课程和新教材匆忙组织起来，数百名教育工作者向数千名困惑的教师和家长传播(disseminating)新思想。其他人则前往国外，在人口几乎不能读写的发展中国家传播新福音。

今天，大约在新数学推行的四十年以后，大多数教育工作者一致认为，新数学弊大于利。我们的学生可能学会了集合论的语言和符号，但当涉及到那怕最简单的数值计算时，他们不会了——无论有没有计算器。其后果就是，很多高中毕业生缺乏基本的代数技能，并且，一点不奇怪的是，大约有50%的学生第一次上大学水平的微积分时成绩不及格。学院和大学正花耗巨大的资源在补救程序(remedial programs)上(通常会给他们冠名一些委婉(euphemistic)的称呼，比如“发展计划”或“数学实验室”，以让他们更容易接受(palatable))，这些措施达成目标的概率最多也就五成。

更为糟糕的是，有如此众多的高中毕业生缺乏基本的代数技巧，典型的三角学教材的水平和深度一直在稳定下降。试题和练习通常是最简单和最常见的这类，所要求的技能最多也就是对几个公式的记忆。就像臭名昭著的代数“单词问题”一样，这些练习大多枯燥乏味，让学生感到“那又怎么样？”几乎没有学生有机会应对一个真正具有挑战性的身份，一个可能会让他们有成就感的身份。例如：

1. 证明，对于任意整数x，有：

$\frac{sin x}{x}=cos\frac{x}{2}cos\frac{x}{4}cos\frac{x}{8}......$

这个公式是由Euler发现的，将x替换为π/2，利用 $cos\pi /4=\sqrt{2}/2$ ,并重复应用余弦半角公式，我们得到了以下漂亮的公式：

$\frac{2 }{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}....$ ,

这个公式是François Vi`ete于1593年以一种纯粹的几何方式发现的。

2. 证明，对于任意三角形，有：

$sin\alpha +sin\beta +sin\gamma =4cos\frac{\alpha }{2}cos\frac{\beta }{2}cos\frac{\gamma }{2}$ ,

$sin2\alpha +sin2\beta+sin2\gamma=4sin\alpha sin\beta sin\gamma$ ,

$sin3\alpha+sin3\beta+sin3\gamma=-4cos\frac{3\alpha}{2} cos\frac{3\beta} {2} cos \frac{3\gamma}{2}$ ,

$tan\alpha+tan\beta+tan\gamma=tan\alpha tan\beta tan\gamma$ 。

(最后一个公式有些意想不到的重要性，我们将在12章讨论。) 这些公式具有明显的对称性特征；甚至可称得上“漂亮”—— 这是对一个以枯燥(dry)和技术性著称的科目的一种善意的称呼。在附录3中，我收集了一些其它的美丽公式，当然，应当认识到“美”是一种完全主观性的特质。

Edna Kramer 在<< The Nature and Growth of Modern Mathematics>>(现代数学的特征和发展)一书中说，“一些学生”认为三角学是“带有叠加计算折磨的美化几何(a glorified geometry with superimposed computational torture)”。本书尝试消除(dispel)这种观点。我采用了历史的方案，部分原因是我相信它能在很大程度上使数学和科学更受欢迎——对于学生而言。然而，我避免严格按时间顺序来展现这个主题，而是基于美学吸引力或其与其它科学的相关性进行取舍。当然，我对主题的选择也体现了我自己的偏好，本来也可以选择很多其它的主题。

第一章仅要求基本的代数学和三角学知识；其它章节要求一些微积分知识(不高于微积分II)。因此，大部分材料都可以被高中生和大专生阅读。基于这样的读者群定位，我限下了讨论范围于平面三角，避免与球面三角一起讨论(尽管，在历史上实际上是后者首先占据了这个主题)。一些附加历史材料——通常是传记性质的——包括在八个“边栏”中，可以独立于主要章节阅读。

我最衷心的感谢我的儿子Eyal准备了这些插图；感谢宾夕法尼亚州艾伦顿市穆伦伯格学院的William Dunham和新罕布什尔大学的Paul J. Nahin对手稿的透彻阅读；感谢普林斯顿大学出版社的工作人员在准备印刷工作时的精心照顾；感谢斯科基公共图书馆，其工作人员给予了我极大的帮助，帮我查找稀有和绝版的资料；最后但并非最不重要的是，我亲爱的妻子Dalia一直鼓励我完成这项工作。如果没有他们的帮助，这本书将永远不会出版。

注：本书频繁引用<<The Dictionary of Scientific Biography>>(科学传记词典) 16卷；Charles Coulston Gillispie 版；New York: Charles Scribner之子，1970–1980。) 为了避免重复提及，下面提及之处都称为引用自DSB。

----------------------- Skokie, Illinois

--------------------------------------1997年二月20日

2. 序言

2.1 抄写员Ahmes，公元前1650年

Soldiers: from the summit of yonder pyramids forty centuries look down upon you.

—Napoleon Bonaparte in Egypt, July 21, 1798

士兵们：四十个世纪以来，从远处金字塔的顶端俯视着你们。

——1798提7月21号, 拿破仑·波拿巴在埃及

在1858年，一位苏格兰律师(lawyer)兼古董商(antiquarian) A. Henry Rhind(1833–1863)，在他的一次尼罗河流域(Nile valley)的旅途中，购买了一份几年前在上埃及(Upper Egypt)底比斯(Thebes)（今卢克索(Luxor)附近）一座小建筑废墟中发现的文件。这份文件被称为<<莱茵纸莎(suō)草纸>>(Rhind Papyrus),被证实是由处理算术、原始代数和几何的84个数学问题集。在Rhind不幸于30岁时去世后，它被大英博物馆(British Museum)收藏，现在，永久保存在大英博物馆。最初发现的莎草纸是一卷18英尺长、13英寸宽的卷轴，但当大英博物馆获得它时，一些碎片丢失了。幸运的是，这些东西后来被纽约历史学会发现，所以可以获得完整的全文。

古埃及拥有传说中的(legendary)神殿(shrines)和宝藏(treasures)，一直吸引着(captivated)欧洲旅行者的想象力。1799年拿破仑(Napoleon)在埃及的军事行动(campaign)，尽管最终失败，但还是为一支由学者、古物学家和冒险家组成的军队打开了国门。拿破仑对文化和科学有着浓厚的兴趣，他的手下有许多各个领域的学者，其中就包括数学家约瑟夫·傅里叶(Joseph Fourier)(关于他，我们稍后将有更多的话要说)。这些学者在全国各地搜寻(combed)古代宝藏，将他们能找到的东西带回欧洲。他们最著名的发现是在尼罗河三角洲(Nile Delta)西端的拉希德(Rashid)镇附近出土的一块大型玄武岩板(basalt slab)，欧洲人称之为罗塞塔(Rosetta)。

罗塞塔石碑(Rosetta Stone)与最终收藏在大英博物馆的莱因德纸莎草纸一样，载有古埃及祭司委员会(priests)在托勒密五世(Ptolemy V)统治期间(公元前195年)颁布的法令，并以三种语言记录：希腊语(Greek)、通俗语(demotic)和象形文字(hieroglyphic)(图片脚本)。英国物理学家托马斯·杨(Thomas Young，1773-1829 年)是第一个破译(decipher)石头上铭文(inscription)的人，他兴趣广泛，其因其最著名的光的波动理论而著名。通过比较三种文字中相似符号组的重复出现，他能够编纂一部古埃及文字的原始词典。他的作品于1822年由著名的法国埃及古物学家让·弗朗索瓦(Jean François)完成。Champollion（1790-1832 年），他在铭文中确定了埃及艳后这个名字。Champollion 划时代的工作使学者们能够破译大量写在纸莎草纸、木头和石头上的古埃及文本，其中包括几本与数学有关的卷轴。最长和最完整的数学文本是 Rhind Papyrus。

德国学者August Eisenlohr是第一个将Rhind Papyrus 翻译成现代语言的人(莱比锡，1877年)；托马斯·埃里克·皮特 (Thomas Eric Peet) 的英文译本于1923 年在伦敦出版。但该作品最详尽的版本是由阿诺德·布富姆·蔡斯 (Arnold Buffum Chase，1845–1932 年)于1929年完成的，他是一名美国商人，1910 年的埃及之行使他成为了一名埃及古物学家。正是通过这个版本，Rhind Papyrus 才对公众开放。

与早期的象形文字或图画文字相反，纸莎草纸是用僧侣体(草书)从右到左书写的。文字有两种颜色——黑色和红色——并附有几何图形。它由一位名叫A'h-mose的抄写员亲笔书写，现代作家通常称其为Ahmes。但这不是他自己的作品；正如我们从他自己的介绍中所知，他是从一份较旧的手稿中抄录的：

此书抄写于公元 33 年，洪水季节的第四个月，在上埃及和下埃及国王“A-user-Re”的威严下，被赋予了生命，与古老的文字相似上埃及和下埃及国王 Ne-ma'et-Re' 的时代。抄写此文字的是抄写员 A'h-mose。

提到的第一个国王，“A-user-Re”，已被确定为希克索斯王朝的成员，生活在公元前 1650 年左右；第二位国王 Ne-ma’et-Re’ 是 Amenem-het III，他在位时间为公元前 1849 年至公元前 1801 年。在所谓的中央王国期间。因此，我们可以非常准确地确定原作及其副本的日期：它写于将近四千年前，是我们所知最早、范围最广的古代数学文献之一。

这部作品以作者计划提供的宏伟愿景开篇：“对所有事物进行全面彻底的研究，洞察所有存在的事物，了解所有秘密。”即使这些承诺没有完全实现，作品也给出了我们对早期埃及数学的宝贵见解。它的84个问题涉及算术、口头代数(求未知量)、测量(面积和体积计算)，甚至算术和几何级数。对于习惯了希腊数学形式结构(定义、公理、定理和证明)的任何人来说，莱因德纸莎草纸的内容一定会令人失望：没有适用于整个问题类别的一般规则，结果也不是从先前确定的事实中合乎逻辑地推导出来。相反，问题在于使用特定数字的特定示例的性质。它们大多是“故事题”，涉及诸如计算田地面积或粮仓体积，或如何在这么多人之间分配面包数量等平凡问题。显然，这部作品的目的是作为一个文士学校使用的练习集，因为所有文学任务都分配给了皇家文士班——阅读、写作和算术，我们现代的“三个 R”。纸莎草纸甚至还包含一个没有明显实际用途的娱乐问题，显然是为了挑战和娱乐读者。

这项工作从两个表格开始：一个是 2 除以从 3 到 101 的所有奇数整数的除法表，另一个是整数 1 到 9 除以 10 的除法表。答案以单位分数给出——分子为 1 的分数。由于某些原因，这是埃及人唯一知道的处理分数的方法；一个例外是 2/3，它本身被视为分数。将分数分解为单位分数之和，花费了大量的精力和智慧。例如，6 除以 10 的结果为 1=2 C 1=10，7 除以 10 的结果为 2=3C1=30.8，当然，埃及人没有使用我们现代的分数表示法；他们通过在该整数的符号上放置一个点(或象形文字中的椭圆)来表示该整数的倒数。没有加法符号；单位分数简单地写在彼此旁边，它们的总和是隐含的。

接下来的工作涉及减法(称为“完成(completion)”)和乘法的算术问题，以及寻求未知数量的问题；这些问题称为“aha”问题，因为它们通常始于“h”开头的词(发音“aha”或“hau”)，通常指的是需要发现的这个“未知量”。例如，问题30问“If the scribe says, What is the quantity of which 2/3 +1/10 will make 10,let him hear(如果抄写员说，2/3 +1/10 等于10的数量是多少，让他听)。” 给出的答案为13+1/23,后面附着这个答案正确的证明(今天我们说是“验证”)。

按现代的数学术语，问题30相当于解方程(2/3+1/10)x=10。这种线性方程可通过所谓的“虚位法则(rule of false position)”得解：为x假设一些方便的值,比如30，并在方程中代入；左边则变成了23，而不是所需的10。由于23必须乘以10/23才能得到10，因此正解的解(solution)将是假设值的10/23倍，即，x=300/23=13+1/23。因此，在现代符号代数创立的大约3500年前，古埃及实际上已经具备了解线性方程的方法。

第41到第60个问题是自然界中的几何问题。问题41简单地说：“Find the volume of a cylindrical granary of diameter 9 and height 10(求直径9高10的圆柱形粮仓的体积)。” 求解如下：“拿掉9的1/9，即1；余数是8。8乘以8；得到 64。将64乘以10；它有640立方肘(cubits)。”(然后作者将这个结果乘以15/2将其转换为“hekat”，这是用于测量谷物的标准体积单位；一“hekat”已被确定为等于292.24立方英寸或4.789升。) 因此，要求得圆形底座(circular base)的面积，抄写员将圆形底座替换为边长为其直径8/9 的正方形(square)。将直径用d表示，这相当于公式

$A = [(8/9)d]^{2}= (64/81)d^2$ 。

假如我们将这个公式与

$A = \pi d^2/4$

相比较，我们会发现，埃及人用这个值π = 256/81 = 3.16049，与准确值的误差仅仅只有百分之0.6。这已经是一个非凡的成就！

我们特别感兴趣的是56-60这五个问题。他们处理最著名的埃及古迹金字塔问题，并且所有的都用到“seked”这个词，我们很快就会知道这个词的真实含义。

问题56说“If a pyramid is 250 cubits high and the side of its base 360 cubits long, what is its seked(如果金字塔高250肘，底边长360肘，它的‘seked’是多少)?” Ahmes的求解过程如下：

360去掉1/2；得到180。某值要乘以250以便得到180；它使用了肘(cubits)的1/2,1/5,1/50。一肘等于7手掌(palms)。用1/2,1/5,1/50分别乘以7，便得到：

1(cubits) --------------7 (palms)

1/2------------------3 + 1/2 = (7×1/2)

1/5------------------1 + 1/3 + 1/15 = (7×1/5)

1/50------------------------1/10 + 1/25 = (7×1/50)

--------------图1. Rhind纸莎草纸第56题----------------------------------

因此，“seked”是 $5\frac{1}{25}$ 手掌[即， $(3+\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{15})+(\frac{1}{10}+\frac{1}{25})=5\frac{1}{25}$ 。

我们来分析一下这个“解”(solution)。很显然，360的1/2,或者180，是金字塔四方形底座的边的一半长(图2所示)。“某值要乘以250以便得到180”指的是求一个未知数x使得x的250倍等于180。这样我就求得x = 180/250 = 18/25。但是，古埃及数学家要求所有的答案都要以单位分数的形式给出；单位分数1/2,1/5,1/50的和实际上是18/25。则，这个数字是金字塔底座边的一半对其高度的比率(ratio)，或者是其表面与底座截线的水平距离的一半与其垂直高度的比率(run-to-rise,升程比)。实际上，Ahmes发现的这个量“seked”是“the cotangent of the angle between the base of the pyramid and its face(棱锥底面与其表面之间夹角的余切值)”。

--------------------------图2 方形底座金字塔---------------------------

那么，随之又引出了两个问题：

第一，为什么他没有发现这个比例的倒数(reciprocal),或者升程比，就像我们今天使用的这样？答案是，当构建一个垂直结构的时候，对每增加一个高度单位，从“垂直”线测量“水平”偏差(deviation)是很自然的，即，升程比。事实上，这确实是建筑学中的实践，在建筑学中，人们使用术语“倾斜率(batter)”来度量假定垂直墙的向内倾斜度。

第二，为什么Ahmes继续用7去乘以他的答案？由于某些原因，金字塔建筑师们以“掌(pamls)”或“手(hands)”来度量水平距离，和以“肘(cubits)”来度量垂直距离，一肘等于7掌。因此，要求使用“seked”这个单位， $5\frac{1}{25}$ ，以每肘多少个掌的单位，给出了这个升程比的值。当然，今天我们把这些比率值看成纯粹的数字。

为什么上升程比被认为如此重要以至于值得在纸莎草纸上有一个专用的名称和并且围绕它提出了四个问题？原因是对于金字塔建筑师而言，保持每个面相对于地平线的恒定坡度至关重要。这在纸面上看起来很容易，但一旦实际施工开始，建筑师就必须不断地检查他们的进度以确保保持所需的坡度。也就是说，对于每一个斜面来说，“seked”必须是相同。

第57个问题是一个相反的问题：给予我们seked值和一条底边去求得高度。问题58和59和问题56类似，并且导出了seked是 $5\frac{1}{4}$ 手掌(每肘)，另外，给出的答案还有5手掌和1手指(fingers)(1手掌4个手指)。最后，问题60问的是求得一根高30肘、底座为15肘的柱子(pillar)的 seked值。我们不知道这根柱子的形状是金字塔(pyramid)还是圆柱(cylinder)(这种情况15是底座的直径(diameter))。这两种情况，其答案都是1/4。

在第56个问题中求得的seked值，即，18/25对应一个底座与斜面的夹角54°15'。第58-59问题求得的seked值，当转换回无量纲的单位时，是 $5\frac{1}{4}$

：7或3/4 ,对应角度是53°8'。将这些数字与Giza的一些金字塔的实际角度对比是一件很有趣的事情：

Cheops: 51°52'

Chephren: 52°20'

Mycerinus: 50°47'

这些数字高度一致。至于问题60中的柱子，它的角度非常大，因为很显然我们期望的结构是这样：

$\O= cot^{-1}(1/4)=75^{\circ}{58}'$ 。

当然，声称古埃及人发明了三角学是不实的。在他们可查的文字记载中，没有出现任何有关角度的概念。所以他们无法建立三角形的角和边之间的定量关系。此外，“at the beginning of the 18th century b.c., and probably a thousand years earlier, when the great pyramids were built, the Egyptian mathematicians had some notion of referring a right triangle to a similar triangle,one of whose sides was a unit of measure, as a standard(公元前18世纪初，可能就是公元前一千多年前，当建造大金字塔时，古埃及数学家有一些概念，将直角三角形与相似的三角形联系起来，其中一个边是一个度量单位，正如一个标准)。”(引自“Chase”) 因此，我们可能有理由将实用三角学的粗糙知识(也许“三角学原型(proto-trigonometry)”是一个更好的词)归功于埃及人，大约在两千年前，古希腊人开始研究这门学科并将其转化为应用数学的强大工具。

2.2 古埃及的趣味数学

莱茵纸莎(suō)草纸的第79个问题说的是(图 3)：

[1] 埃及语“猫”的单词是“myw”；当插入脱落的元音后，就成了“meey’auw”。

[2] 很明显，Ahmes在这里犯了一个错，正确的条目应当是2401。

-----------------------------图 3.0 莱茵纸莎草第79题---------------------

在首神秘诗句(cryptic verse)后面藏着什么秘密呢？显然，在我们面前，有一个几何级数(geometric progression),它的初始项和公比(common ratio)都是7, 抄写员向我们展示了如何求得其总和。但是，正如任何一位好老师都会做的那样，打破常规数学课的单调乏味(monotony)，Ahmes用一个小故事来美化(embellishes)这个练习，可以这样解读：有7座房子；每座房子里面7只猫；每只猫吃7老鼠；每只老鼠吃7只小麦的穗；小麦的每个穗产生7 hekat谷物。求涉及的各项总数。

很显然，右边的列给出了级数的项 $7,7^{2},7^{3},7^{4},7^{5}$ ,

后面接上总数(是否这个错误是Ahmes抄错了，还是原底本本身就有这个错，我们不得而知)。但是现在Ahmes打出了他的第二张牌：在左边的例，他向我们展示了如何用更简单短的、更“巧妙的(clever)”方法求解答案；循着它的思想我们可以看到古埃及的乘法在起作用。古埃及人知道，任何整数都可以表示成几何级数项1，2，4，8，……的和的形式，并且，这个表示形式是唯一的(准确地说，这是一个以2为底(的指数)和系数或者“二进制数”为0和1的整数表达形式)。对于乘法，比如说，13乘以17，他们必须将乘数之一写成2的指数的形式，比如13，13 = 1 + 4 + 8，用其它的乘数乘以每一个2的指数，并加入结果到和中：

13×17 = 1×17 + 4×17 + 4×17 + 8×17 = 17 + 68 + 136 = 221 。

这项工作可以使用表格方便地表示如下：

17×1 = 17 * 1

17×2 = 34 * 0

17×4 = 68 * 1

17×8 = 136 * 1

后面的星号(*)表示加入的系数(即乘以0或者1，表示这项出现与否)。因此，古埃及人可以重复使用倍数法和加法来完成任何乘法运算。在我们所知的所有古埃及数学著作中，一直遵循这种实践方法；这对古埃及抄写员而言是基本技能要求，就像当今小学生必须熟记乘法口诀表一样。

因此，位于问题79的左边列的第一个数字2801是怎么来的呢？在这里，Ahmes使用了一个对于古埃及人来说非常熟悉的几何级数的属性：一个初始项和公比相同的几何级数的前n项的和等于公比乘以1加上前n-1项等比级数的和；用现代的记法便是，

$a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}=a(1+a+a^{2}+...+a^{n-1})$ 。

这个“等归公式(recursion formula)”的类型使得古埃及抄写员对具有更少项(和更小项)的几何级数的处理，会减少其总和。为了求得级数7+49+343+2 , 401+16 ,807 的总和，Ahmes将它想成是 7×(1+7+343+2，401)；因为位于括号中的项的总和是2801，他所能做的就是用数字7乘以这个数字,将7看成是1+2+4。这就是左边列向我们展示的内容。注意，这一列要求只有三步，试对比右边列“更明显”的五步解的过程；很显然，抄写员将此练习作为创建性思维的一个例子。

有人可能会问，为什么Ahmes要选择公比7？在Richard J. Gillings的优秀著作<<法老时代的数学>>(Mathematics in the Times of the Pharaohs)一书中，他这样回答了这个问题：“The number 7 often presents itself in Egyptian multiplication because, by regular doubling, the first three multipliers are always 1, 2, 4, which add to 7 (数字7通常出现在埃及乘法中是因为，通过规则的倍数运算，前三个乘数总是1，2，4，三者相加恰好是7)”。然而，事实上，同样将这种解释应用到数字3(=1+2)、15(=1+2+4+8)、以及所有形如 $2^{n}-1$ 的数字时，这种解释在一定程度上是不能令人信服的。一种更合理的解释可能是，选择7是因为，如果选择更大的数则会使计算结果过长，而一个稍小的数字则不会使得展示的级数迅速增长：如果Ahmes使用了3，最终答案(363)可能不够“震撼(sensational)”，不足以打动读者。几何级数的急剧增长令各个时代的数学家着迷；它甚至进入了某些文件的民间传说(folklore)。有一个古老的传说(legend)，波斯(Persia)国王对国际象棋(chess)非常感兴趣，他希望奖励它的发明者。当这位来自王国偏远角落的贫苦农民(peasant)被召到(summoned)皇宫(royal palace)时，他只要求在棋盘(chessboard)的第一格(square)上放一粒小麦，第二格放两粒麦粒，第三格放四粒麦粒 ,依此类推，直到所有64个正方形都被覆盖。国王对这个谦逊的要求感到惊讶，命令他的仆人拿来几袋小麦，他们耐心地开始把谷物放在案子上。然而，问题很快明晰，即便是王国的所有全部粮食也不足以满足要求。因为这个级数

$1+2+2^{2}+...+2^{63}$ 的总和是惊人的18,446,744,073,709,551,615——足以构成一条2光年长的谷物线。

Ahmes的第79个问题描述甚似一首古老的童谣格律：

As I was going to St. Ives,-------当我在去St. Ives的路上时

I met a man with seven wives;--------我见到了一位携7妻的男人

Every wife had seven sacks,-----------每妻携7麻袋

Every sack had seven cats,------------每麻袋载7只猫

Every cat had seven kits.---------------每猫下7只仔

Kits, cats, sacks and wives,-------------猫仔，猫仔，麻袋，和妻子

How many were going to St. Ives?------------他们去St. Ives的数量一共是多少？

在Leonardo Pisano(“Fibonacci”)(“斐波那契”)的著名著作<<Liber Abaci>>(算盘全书)(公元1202年)中有一个问题，除了涉及的故事不同之外，和这首韵律诗几乎一样。这导致一些学者认为，问题79“has perpetuated itself through all the centuries from the times of the ancient Egyptians(自古埃及人时代以来一直延续了所有世纪)。” 对此，Gillings回应说： “All the available evidence for this [conclusion] is here before us, and one is entitled to draw whatever conclusions one wishes. It is indeed tempting to be able to say to a child, ‘Here is a nursery rhyme that is nearly 4,000 years old!’ But is it really? We shall never truly know(这个[结论]的所有可用证据都摆在我们面前，人们有权得出任何想得出的结论。能够对孩子说：“这是一首已有近4000年历史的童谣！”，这确实很诱人，但事实真的如此吗？我们永远不会知道实情)。”

几何级数看起来似乎与三角学相去甚远，但在第9章中我们将说明，这两者事实上密切相关。这将使我们能够从几何角度研究这些级数，并将尽可能证明，不知何故，与它们相关联的形容词“几何(geometric)”完全是贴切的。

内容来源：

<<Trigonometric Delights>> 作者：Eli Maor

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