ACM几何问题

今天复习了一下几何的基础内容，顺便整理了一下。
其实几何也挺简单的，只要熟练掌握点积和叉积，这些都是易学易懂的。

1.点、直线、线段、圆、三角形、多边形、矩形->判相交，判位置，求交点，求最近点，求特殊点（三角形六心等）

2.凸包（水平序，极角序）*（规范，非规范）

3.半平面交（求核）

4.旋转卡壳（多边形直径、宽度，两个多边形间的最近最远距离）

5.扫描线（坑）

6.KD-树（坑）

7.三角剖分

基础概念及知识:
向量(x, y)的极角就是atan2(y, x);
两个向量的点积就等于x1 * x2 + y1 * y2;夹角小于90度为正。
两个向量的叉积就等于x1 * y2 - y1 * x2;某向量与他左边的向量叉积为正。
叉积的结果即为两向量所组成的平行四边形的面积。
向量旋转公式:x' = x * cosa - y * sina, y' = x * sina + y * cosa。
点到直线的距离:平行四边形的面积除以底。
线段相交:每条线段的两个端点都在另一条线段的两侧，即叉积的符号不同。

//定义
struct Point
{
    double x, y;
    Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y);{}
};
typedef Point Vector;

//向量相加
Vector operator + (Vector A, Vector B)
{
    return Vector(A.x + B.x, A.y + B.y);
}

//比较<
bool operator < (const Point &a, const Point &b)
{
    return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);
}

//比较==
bool operator == (const Point &a, const Point &b)
{
    return dcmp(a.x - b.x) == 0 && dcmp(a.y - b.y) == 0;
}

//三态函数
const double eps = 1e - 10;
int dcmp(double x)
{
    if (fabs(x) < eps) return 0;
    else return x < 0 ? -1 : 1;
}

//点积
double Dot(Vector A, Vector B)
{
    return A.x * B.x + A.y * B.y;
}

//求向量长度
double Length(Vector A)
{
    return sqrt(Dot(A, A));
}

//求两向量夹角
double Angle(Vector A, Vector B)
{
    return acos(Dot(A, B) / Length(A) / Length(B));
}

//叉积
double Cross(Vector A, Vector B)
{
    return A.x * B.y - A.y * B.x;
}

//面积
doubel Area2(Point A, Point B, Point C)
{
    return Cross(B - A, C - A);
}

//向量旋转   rad是弧度
Vector Rotate(Vector A, double rad)
{
    return Vector(A.x * cos(rad) - A.y * sin(rad), A.x * sin(rad) + A.y * cos(rad));
}

//点到直线的距离
double DistanceToLine(Point P, Point A, Point B)
{
    Vector v1 = B - A, v2 = P - A;
    return fabs(Cross(v1, v2)) / Length(v1);
}

//点到线段的距离
double DistanceToSegment(Point P, Point A, Point B)
{
    if (A == B) return Length(P - A);
    Vector v1 = B - A, v2 = P - A, v3 = P - B;
    if (dcmp(Dot(v1, v2)) < 0) return Length(v2);
    else if (dcmp(Dot(v1, v3)) > 0) return Length(v3);
    else return fabs(Cross(v1, v2)) / Length(v1);
}

//点P在直线AB上的投影Q
Point GetLineProjection(Point P, Point A, Point B)
{
    Vector v = B - A;
    return A + v * (Dot(v, P - A) / Dot(v, v));

}

//线段相交
bool SegmentProperIntersection(Point a1, Point a2, Point b1, Point b2)
{
    double c1 = Cross(a2 - a1, b1 - a1);
    double c2 = Cross(a2 - a1, b2 - a1);
    double c3 = Cross(b2 - b1, a1 - b1);
    double c4 = Cross(b2 - b1, a2 - a1);
    return dcmp(c1) * dcmp(c2) < 0 && dcmp(c3) * dcmp(c4) < 0;
}

//判断一个点是否在线段上
bool OnSegment(Point p, Point a1, Point a2)
{
    return dcmp(Cross(a1 - p, a2 - p)) == 0 && dcmp(Dot(a1 - p, a2 - p)) < 0;
}

//计算多边形的有向面积
double PolygonArea(Point *p, int n)
{
    double area = 0;
    for (int i = 1; i < n - 1; i++)
    {
        area += Cross(p[i] - p[0], p[i + 1] - p[0]);
    }
    return area / 2;
}

有一道挺不错的凸包题目，链接：NOJ  [1201] Chihuo II - Eating in China
http://ac.nbutoj.com/Problem/view.xhtml?id=1201