用二进制如何表示浮点型数值

最新推荐文章于 2024-07-31 18:06:25 发布

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分类专栏： JavaSE 文章标签： java

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ooppookid/article/details/51814335

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本文详细解析了浮点数在计算机中如何通过二进制表示，遵循IEEE754标准，介绍了符号位、指数位和尾数位的概念，并以32位和64位浮点数为例，展示了其在Java中的具体实现。

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前言：
大学期间计组没有学习好，导致怎么用浮点数表示二进制一直有点蒙，今天看到一篇不错的博文介绍这方面的，故转载记录一下。

原文：https://blog.youkuaiyun.com/ooppookid/article/details/51814335

1、用二进制如何表示浮点型数值

我们再了解二进制如何表达浮点型数值前，需要先了解用二进制如何表示整型数值：用二进制如何表示整型数值
由于计算机只认识0、1二进制，所以与表示整数一样，浮点数值最终也都会被解释为二进制机器码，与整型不同的是，所有由计算机储存的浮点类型，都是通过运算转换为十进制的，所以都是高度近似值，并不可能100%精确。具体规则如下：

遵循Ieee754标准（IEEE二进位浮点数算术标准）
首位均是符号位，1代表负，0代表正。
除去首位，用来表示浮点型的二进制要需要划分为指数位和尾数位（也称作小数位）。

不同浮点类型的指数位和尾数位占用长度不一样。

二进制转换十进制的指数偏差为：2^(指数位长度-1)-1。

这里所说的指数位、尾数位是十进制转二进制运算的关键，以32位浮点为例，它由1位符号位，8位指数位以及23位尾数位组成，例下面这个32位浮点数：

0100 0010 1101 0110 0101 0001 1100 1111

其中：指数位：100 0010 1；尾数位：101 0110 0101 0001 1100 1111。

从上面可知一下结论：

符号位为：0，即正值。
32位浮点，故指数偏差值：2^(8-1)-1 = 127。
指数位为：100 0010 1，即十进制133。
尾数位为：101 0110 0101 0001 1100 1111。

下面我们根据以上结论来运算十进制值，步骤如下：

计算指数，指数位减去指数偏差值，即133-127=6
计算小数，首先为尾数位前面补充小数点以及隐藏位1得：1.101 0110 0101 0001 1100 1111，而后右移指数6位得：1101 011.0 0101 0001 1100 1111
逐位运算，逐位求2的乘方得：
1*(2^6)+1*(25)+0*(2^4)+1*(23)+0*(2^2)+1*(21)+1*(2^{0)+小数点+0*(2}-1)+0*(2^-2)+1*(2-3)+0*(2^-4)+1*(2-5)+0*(2^-6)+0*(2-7)+0*(2^-8)+1*(2-9)+1*(2^-10)+1*(2-11)+0*(2^-12)+0*(2-13)+1*(2^-14)+1*(2-15)+1*(2^-16)+1*(2-17) =107.1597824
添加符号位得：+107.1597824

由此可知，浮点类型进制转换需要耗费一定的cpu运算，而且并不精确，如果想尽量精确，需要提升浮点类型的位数，例如64位。而且在一定范围外，不同的十进制浮点数可能会转换为相同的二进制浮点数，例如：

float f3 = 423.15243f;
float f4 = 423.15244f;
System.out.println(f3 == f4);

结果为：

true

也就是说我们只能判断两个浮点数的精度差，一般使用f4 - f3 < 0.0001方式来判断两个浮点数是否相等（近似相等）。

2、Java中浮点型如何用二进制表示

在Java语言中，浮点数值分2种：float、double，均是带符号整型。

了解基本数据类型看这里：java有哪8种基本数据类型
这些类型除了长度不一致外，其他规则均按照以上规则，具体如下：

float
内存中占用8个字节，32bit。其中符号位1位，指数位8位，尾数位23位。指数偏差值：2^(8-1)-1 = 127

例如：

public class Test {

    public static void main(String[] args) throws UnsupportedEncodingException {
        float f1 = 423.1594f;
        float f2 = -423.1594f;
        int floatToIntBits1 = Float.floatToIntBits(f1);// 根据IEEE754规则，得到浮点的表示值。
        int floatToIntBits2 = Float.floatToIntBits(f2);

        System.out.println("正float===" + Integer.toBinaryString(floatToIntBits1));// 转二进制
        System.out.println("负float===" + Integer.toBinaryString(floatToIntBits2));
        System.out.println("正float===" + Integer.toHexString(floatToIntBits1));// 转十六进制
        System.out.println("负float===" + Integer.toHexString(floatToIntBits2));
 }
}

结果如下：
正float=1000011110100111001010001100111
负float=11000011110100111001010001100111
正float=43d39467
负float=c3d39467

double
内存中占用16个字节，64bit。其中符号位1位，指数位11位，尾数位52位。指数偏差值：2^(8-1)-1 = 1023

例如：

public class Test {

    public static void main(String[] args) throws UnsupportedEncodingException {
        double d1 = 423453.1597824345;
        double d2 = -423453.1597824345;
        long doubleToLongBits1 = Double.doubleToLongBits(d1);// 根据IEEE754规则，得到浮点的表示值。
        long doubleToLongBits2 = Double.doubleToLongBits(d2);

        System.out.println("正double===" + Long.toBinaryString(doubleToLongBits1));// 转二进制
        System.out.println("负double===" + Long.toBinaryString(doubleToLongBits2));
        System.out.println("正double===" + Long.toHexString(doubleToLongBits1));// 转十六进制
        System.out.println("负double===" + Long.toHexString(doubleToLongBits2));
 }
}

结果如下：
正double=100000100011001110110000111010010100011100111100000000110101011
负double=1100000100011001110110000111010010100011100111100000000110101011
正double=4119d874a39e01ab
负double=c119d874a39e01ab