线代强化NO2|向量和秩-优快云博客

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向量

向量的概念

概念和运算
- 概念：向量 (有序)、分量、行向量、列向量、向量组
- 运算：转置、线性（加法、数乘）、内积
线性表示
- 线性组合
  - 内容：加法与数乘
  - 注：
    1. 多个线性组合；
    2. 对系数和向量无要求
- 线性表示
  - 内容：一个向量可表示为一个向量组的线性组合
  - 注：
    1. 对系数无要求，零向量可由任何向量线性表示
    2. 内部可由整体线性表示
    3. 任何向量可由基本单位向量线性表示；
    4. 通俗：作战能力，能表示的向量越多，作战能力越强
- 分类
  - 向量由向量组线性表示
  - 向量组由向量组线性表示
  - 向量组与向量组互相线性表示 (等价)
线性相关
- 内容：存在不全为零的数称为线性相关，否则就无关
- 注：
  1. 单个向量相关 <=> 向量为零向量
  2. 两个向量相关 <=> 对应分量成比例
  3. 内部有一个向量可由其他向量线性表示则相关
  4. 只存在全为零的系数满足等式则线性无关；
  5. 相关与无关二者必居其一且仅居其一；
  6. 线性相关 <=> 齐次方程组有非零解

向量的公式定理

线性表示
- 定理 1
  - 内容：线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示
  - 注：
    1. 必要性不常用，用的更多的是充分性；
    2. 缺点是要算出系数
- 定理 2
  - 向量组 I 线性无关，加上 $β\beta$ 线性相关，则 β 可由向量组 I 唯一线性表示
线性相关
- 定理 1
  - 内容：若内部有一个向量可由其他向量线性表示，则线性相关
  - 注：含有零向量的向量组一定线性相关
- 定理 2
  - 内容：部分相关则整体相关
  - 注：
    1. 逆否：整体无关则部分无关
    2. 用混事的来理解
- 定理 2
  - 内容：以少表多，多必相关
  - 注：通俗理解，人数多，作战能力差别必有混事的
- 定理 3
  - n+1 个 n 维向量必线性相关
  - 注：若齐次方程组中未知数个数大于方程个数，则有非零解；
线性无关
- 定理 1
  - 内容：低维无关则高维无关
  - 注：
    1. 增加维数，增加方程个数，解空间不变大
    2. 逆否命题：高维相关则低维相关
    3. 通俗理解
- 整体无关则部分无关

秩

矩阵的秩

概念
- 内容：k阶子式、秩（最高阶非零子式的阶数）
- 注：
  1. 子式的阶数不超过矩阵的行数和列数
  2. k 阶子式的个数： $Cnk⋅CmkC_{n}^{k} \cdot C_{m}^{k}$
  3. 关心的是k阶子式的值
  4. 若所有的 k 阶子式为零，则任意 k+1 阶子式全为零
性质
- 秩：分水岭： $r (A) = k$ ，存在一个k阶子式不为0，任意大于k阶子式全为0
- $\iff A=0$ 秩为零的充要条件为矩阵为零
- $r (A) = 1$ 秩为 1 的充要条件为矩阵的各行 (列) 元素成比例
- $\iff |A| \neq 0$ n 阶矩阵的秩为 n 的充要条件是行列式不等于零
- 矩阵等价的充要条件是秩相等
计算
- 思路：利用初等变换化为阶梯形矩阵
- 注：
  1. 初等行变换和初等列变换均可
  2. 终点一定是阶梯形矩阵
  3. 阶梯形矩阵的非零行数为秩
  4. 初等变换不改变矩阵的秩

向量组的秩

概念
- 极大线性无关组
  - 第一种表述
    - 内容：无关 + 相关
    - 注：
      1. 向量组线性无关等价于极大线性无关组为其本身
      2. 极大线性无关组是最多的无关的子向量组
      3. 极大线性无关组是不唯一的
  - 第二种表述
    - 内容：无关 + 表示
    - 注：
      1. 向量组和其极大无关组等价
      2. 极大无关组和极大无关组等价
      3. 极大无关组所含向量个数相等
- 向量组的秩
  - 内容：极大无关组所含向量的个数
  - 注：
    1. 求向量组的秩转化为了求极大无关组
    2. 向量组的秩为 r，存在 r 个无关，任意 r+1 个均相关
    3. 规定零向量组的秩为零
- 线性关系
  - 内容：对应线性方程组同解，则列向量具有相同的线性关系
  - 性质
    - 极大线性无关组相对应
    - 其他向量由极大无关组表示的分量相同
极大线性无关组的找法以及秩的计算
- 步骤：
  1. 作为列向量化为矩阵 A
  2. 利用初等行变换把 A 化为阶梯形
  3. 主元（每一行的第一个非零元）所在列为一个极大无关组
- 注：
  1. 只能做初等行变换，不能做初等列变换
  2. 本质思想是找非零子式所在列
  3. 也可直接根据阶梯形矩阵的非零行数直接读出向量组的秩
相关定理
- n 个向量无关的充要条件为秩等于 n
- 向量组 I 可由向量组 II 线性表示，则 $r (I) \leq r (II)$
  - 两个向量组等价，秩相等
- β 可由向量组 I 线性表示，则 $r (I) = r (I, β)$

二者关系

向量组的秩等于矩阵的秩

秩的常用公式

公式 1：转置和数乘（乘以非零数）秩不改变
公式 2：范围：
1. 矩阵的秩小于行数和列数
2. 向量组的秩小于维数和个数
公式 3：向量组 I 可由向量组 II 线性表示，则 $r (I) \leq r (II)$ ；矩阵乘积，秩不变大
推论：
1. 乘以可逆矩阵秩不改变
2. 矩阵 A 与矩阵 B 等价的充要条件为秩相等
3. 向量组等价则秩相等，但秩相等不能推出向量组等价
4. 矩阵的和的秩小于等于秩的和 $\pm B) \leq r(A) + r(B)$
公式 4：若矩阵乘积为零 $A B = 0$ ，则秩的和小于等于内标 $\le n$
推论 5：
1. 矩阵秩为 r 的充要条件为伴随矩阵的秩为 n
2. 矩阵秩为 n-1 的充要条件为伴随矩阵的秩为 1
3. 矩阵秩小于 n-1 的充要条件为伴随矩阵的秩为 0
  $r(A)<n−1r(A^*)= \begin{cases} n & \iff r(A)=n \\ 1 & \iff r(A)=n-1 \\ 0 & \iff r(A)<n-1 \end{cases}$
注：
1. 若 A 可逆，且 AB=AC，则 B=C；
2. 若 A 列满秩，且 AB=AC，则 B=C；
3. 若 A 行满秩，且 BA=CA，则 B=C
公式 5：
$r(A) = r(A^T A) = r(A A^T) = r(A^T)$