NO.8数据结构图|定义|分类|邻接矩阵|邻接表|邻接多重表|十字链表

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#数据结构 #分类 #链表

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图的基本概念

图的定义

图(Graph) G 由两个集合和 E 组成，记为 G=(V,E)，其中 V 是顶点的有穷非空集合， E 是顶点中偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。
V(G)和 E(G）通常分别表示图 G 的顶点集合和边集合， E(G)可以为空集。若 E(G)为空，则图 G 只有顶点而没有边。
|V| 表示图顶点数，也称为图的阶； |E|表示图的边数。 |V|>=1， |E|>=0，
即图可以只有一个点，也可以一条边也没有，就是不能一个点也没有，这与之前的线性表和树完全不一样的。

图的分类

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有向图
构成一个图的边集为有向边，每条边(弧)都有方向。
如：顶点对<A,C>是有序的，表示从A到C的一条弧，A为弧尾，C为弧头。<A,C>与<C,A>是不同的两条弧。
无向图
构成图的边集是无向边，每条边都没有方向。如：顶点对(A,C)是无序的， (A,C)与(C,A)是同一条边，A，C互为邻接点。
简单图
图中不存在某顶点到自身的边，且不存在重复的边，则成为简单图。
多重图
顶点有直接与自身相连的边（自环），或无向图中任意两个顶点之间存在多对平行边。
稠密图、稀疏图
根据边的数目进行界定，一般图 G 满足 $∣ E ∣ < ∣ V ∣ * l o g ∣ V ∣$ ，可以将图G看为稀疏图
无向完全图
由 n 个顶点组成的无向图中，任意两顶点之间都存在边，共由 $n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}$ 条边。
有向完全图
由 n 个顶点组成的有向图中，任意两顶点之间存在反向相反的两条边，共有 $n (n - 1)$ 条边。
顶点的度
顶点的度：图中以该顶点为一个端点的边的数目
无向图中：顶点 v 的度是指依附于该顶点的边的条数，记为 TD(v)。具有 n 个顶点， e 条边的无向图中，所有顶点的度总和是边数的二倍，即
$\sum^{n}_{i=1}TD(v_{i}) = 2e$
有向图中：顶点 v 的度分为入度和出度。入度是以顶点 v 为终点的有向边的条数记为 ID(v)；出度是以顶点 v 为起点的有向边的数目，记为OD(v)。具有 n 个顶点， e 条边的有向图中，全部顶点的入度之和与出度之和相等，等于边数。即
$\sum^{n}_{i=1}ID(v_{i}) = \sum^{n}_{i=1}OD(v_{i}) = e$
路径
在图中，顶点 $V_{p}$ 到顶点 $V_{q}$ 之间的顶点序列 $V_{p},V_{a},V_{b}…V_{q}$ 。
路径长度
路径上边的数目，若该路径最短则称之为距离。
简单路径
序列中顶点不重复出现的路径。
= 回路（环）
第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
注意：若所给无向图有 n 个顶点，并且有大于 n-1 条边，则此图一定有环。
= 权
图中边具有与之相关的数值，称之为权重，权重可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离、花费的代价等，这种带权图也叫做网络。
图的连通性
- 子图
  有两个图 G=(V,E)和 G’ =(V’ ,E’ )，若 V‘是 V 的子集，且 E’ 是 E 的子集，则称 G‘为 G 的子图。特别的，当 G’ 的顶点集与 G 的顶点集相等，则称 G’ 为 G 的生成子图。
连通、连通图、连通分量
无向图中，若从顶点 v 到顶点 w 有路径存在，则称 v 和 w 是连通的。
若无向图中任意两个顶点都是连通的，则称此无向图为连通图。
注意：如果一个图有 n 个顶点和小于 n-1 条边，则必然是非连通图。
连通分量：无向图中的极大连通子图，极大：要求包含该连通子图的所有边。
强连通、强连通图、强连通分量
强连通：有向图中，若从顶点 v 到顶点 w 和顶点 w 到顶点 v 之间都有路径，则称 v 和 w 是强连通的。
强连通图：有向图 G 中任意两个顶点都是强连通的，则此图为强连通图。
强连通分量：有向图中的极大强连通子图。
图与树、森林的关系
连通图可以转为树，非连通图可以转化为森林。
生成树：连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。若图中的顶点数为 n，则它的生成树有 n-1 条边，生成树不一定唯一。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路
生成森林：非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

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图的储存结构

对于图 G=(V, E)来说，可以有两种标准的表示方法，一个是邻接矩阵，另一个是邻接表，这两种方法都可以表示有向图和无向图。除此之外，图的存储结构还有十字链表、邻接多重表。

邻接矩阵

图的邻接矩阵的存储方式是用两个数组来表示图。即用一个一维数组存储图中顶点信息，用一个二维数组存储图中边的信息（即各顶点间的邻接关系），存储顶点间邻接关系的二维数组称为邻接矩阵。
设图 G=(V,E)包含 n 个顶点，图顶点编号为 $V_{1},V_{2},V_{3} …V_{n}$ ，图 G 的邻接矩阵是一个二维数组 A[n][n],，其定义为：
$\left\{\begin{matrix} 1, \qquad 若(v_{i},v_{j}或<v_{i},v_{j}>是E(G)的边) \\ 0, \qquad 若(v_{i},v_{j}或<v_{i},v_{j}>不是E(G)的边) \end{matrix}\right.$
![[Pasted image 20251001055333.png]]

#define MAX_VERTEX_NUM 100  //最大顶点个数
typedef char VertexType;    //顶点数据类型
typedef int EgdeType;        //带权图边权值数据类型
typedef struct{
	VertexType Vex[MAXVERTEXNUM];      //顶点表
	EgdeType Edge[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //邻接矩阵，边表
	int vexnum,arcnum;	//图的当前顶点数，弧数
}Mgraph;

邻接矩阵法的空间复杂度为 O(n2)，适用于边稠密图。
注：这里主要是为了和邻接表法所使用的存储空间做对比，所以使用了”空间复杂度” 这个名词，在实际的算法题中，存储图所使用的空间并不会算入整个算法的空间复杂度。

无向图的邻接矩阵法
有向图的邻接矩阵法
带权图的邻接矩阵法
$\left\{\begin{matrix} w_{ij}, \qquad 若(v_{i},v_{j}或<v_{i},v_{j}>是E(G)的边) \\ 0或\infty, \qquad 若(v_{i},v_{j}或<v_{i},v_{j}>不是E(G)的边) \end{matrix}\right.$
扩展知识
设图 G 的邻接矩阵为 A， An的元素 An[i][j]等于由顶点 i 到顶点 j 的长度为 n 的路径的数目。

无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵，常采用压缩存储;
对于无向图，邻接矩阵的第i行/列非零元素的个数对应顶点i的度;
对于有向图，邻接矩阵的第i行非零元素的个数对应顶点i的出度，第i列的非零元素对应顶点i的入度
采用邻接矩阵存储的图，易于确定图中任意顶点之间是否有边。但是难于计算边的总数；
稀疏图不建议使用邻接矩阵的方式存储。

邻接表法

邻接矩阵法，空间复杂度为 O(n2)，存储稀疏图会存在空间浪费。
邻接表法是图的链式存储结构，对图中的每个顶点建立一个单链表，第 i 个单链表中的结点表示依附于顶点 Vi的边（有向图则为以顶点 Vi 为尾的弧）。
邻接表中存在两种结点：顶点表结点和边表结点。
顶点表：采用顺序存储，存储顶点的数据信息和边表的头指针。
边表：采用链式存储，存储邻接点域和指向下一条邻接边的指针域。

边表结点: 
#define Max_Vertex_Num 100
// 图中顶点数目的最大值 
typedef struct ArcNode{
	//边表结点
	int adjvex;
	// 该弧所指向的顶点的位置
	struct ArcNode *next;
	//指向下一条弧的指针
}ArcNode;

顶点表结点：
typedef struct Vnode{
	//顶点表结点
	VertexType data;
	// 顶点信息
	ArcNode *first;
	//指向第一条依附于该顶点的弧的指针
}Vnode,AdjList[Max Vertex Num];

邻接表:
typedef struct {
	AdjList vertices;
	// 邻接表
	int vexnum,arcnum;
	//图的顶点数和弧数
}ALGraph;
// ALGraph是以邻接表存储的图

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无向图的邻接表法
有向图的邻接表法

无向图的邻接表存储需要0(|V|+2|E|)的空间，而有向图为0(|V|+|E|);
邻接表存储易于知道某个顶点的所有邻边，而不方便查找某两个顶点之间是否存在边；
对于邻接表存储的有向图，易于计算某个顶点的出度，而难于计算入度；
稀疏图建议使用邻接表的方式存储。

邻接多重表

无向图的一种链式存储结构，由顶点表结点和边表结点组成。
顶点表结点：存储顶点的数据信息和指示第一条依附于该顶点的边。
边表结点：由六个域组成，
mark 标记域，标记该边是否被搜索过，
ivex 和 jvex 为该边依附的两个顶点在图中的位置，
ilink 指向下一条依附于顶点 ivex 的边，
jlink 指向下一条依附于顶点 jvex 的边，
info 为指向和边相关的信息的指针域。
![[Pasted image 20251001061436.png]]

无向图的邻接多重表

相比于邻接表，邻接多重表对边进行删除操作时效率更高

十字链表

有向图的一种链式存储结构，由顶点表结点和弧结点组成。

顶点表结点：由三个域组成，
data 域存放顶点相关信息，
firstin 和 firstout 两个域分别指向以该顶点为弧头或弧尾的第一个弧结点。
弧结点：由五个域组成，
尾域（tailvex）和头域（headvex）分别指示弧尾和弧头这两个顶点在图中的位置，
链域 hlink 指向弧头相同的下一条弧，
链域（tlink）指向弧尾相同的下一条弧，
info 域指向该弧的相关信息。