NO.88十六届蓝桥杯备战|动态规划-多重背包|摆花(C++)

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于 2025-04-10 21:56:47 发布 · 943 阅读

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#蓝桥杯 #动态规划 #c++

多重背包

多重背包问题有两种解法：

按照背包问题的常规分析⽅式，仿照完全背包，第三维枚举使⽤的个数；
利⽤⼆进制可以表⽰⼀定范围内整数的性质，转化成01 背包问题。
⼩建议：并不是所有的多重背包问题都能⽤⼆进制优化，⽽且优化版本的代码很⻓。因此，如果时间复杂度允许的情况下，能不优化就不优化
解法⼀：常规分析
状态表⽰：
dp[i][j]表⽰：从前i 个物品中挑选，总重量不超过j 的情况下，最⼤的价值。
dp[n][m]就是最终结果。
状态转移⽅程：
根据第i 个物品选的个数，可以分x[i] + 1种情况：
a. 选0 个：价值为dp[i - 1][j] ；
b. 选1 个：价值为dp[i - 1][j - w[i]] + v[i] ；
c. 选2 个：价值为dp[i - 1][j - 2 × w[i]] + 2 × v[i] ；
d. …
e. 选x[i]个：价值为dp[i - 1][j - x[i] × w[i]] + x[i] × v[i] 。
因为要的是最⼤价值，所以dp[i][j]等于上述所有情况的最⼤值。但是要注意j-k*w[i]要⼤于等于0，并且不能按照完全背包的⽅式优化。
初始化：
全部为0 就不影响最终结果
填表顺序：
从上往下每⼀⾏，每⼀⾏从左往右

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int x[N], w[N], v[N];
int f[N][N];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> x[i] >> w[i] >> v[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= 0; j--)
            for (int k = 0; k <= x[i] && k * w[i] <= j; k++)
            {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - k*w[i]] + k * v[i]);
            }
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

空间优化：