NO.42十六届蓝桥杯备战|数据结构|算法|时间复杂度|空间复杂度|STL(C++)

数据结构

什么是数据结构

在计算机科学中，数据结构是⼀种数据组织、管理和存储的格式。它是相互之间存在⼀种或多种特定关系的数据元素的集合。
说点通俗易懂的话，数据结构就是数据的组织形式，研究的就是把数据按照何种形式存储在计算机中

为什么会有数据结构

• 随着计算机的发展和应⽤范围的拓展，计算机需要处理的数据量越来越⼤，数据类型越来越多，数据之间的关系也越来越复杂。
• 这就要求⼈们对计算机加⼯处理的数据进⾏系统的研究，即研究数据的特性、数据之间存在的关系，以及如何有效的组织、管理存储数据，从⽽提⾼计算机处理数据的效率。
• 数据结构这⻔学科就是在此背景上逐渐形成和发展起来的。
  对数据结构更深层次的理解：数据结构研究的是数据本⾝的特性、数据与数据之间的关系，以及如何在计算机中存储数据，从⽽⾼效的处理这些数据。

数据结构的三要素

逻辑结构

逻辑结构：数据中各元素之间的逻辑关系。
它只关⼼数据中各个元素之间的关系，并不关⼼数据是怎么在内存中存储的

常⻅的逻辑结构

1. 集合
   所有的数据只是在⼀个集合中，彼此之间再没有其他的联系
2. 线性结构
   数据之间只存在⼀对⼀的关系
3. 树形结构
   数据之间是⼀对多的关系
4. 图结构
   数据之间存在多对多的关系

存储结构

存储结构⼜称物理结构，但是存储⼆字更能体现本意，后续我们统称存储结构。
存储结构顾名思义，就是数据在计算机中是如何存储的。
⽤⼤⽩话就是，怎么把这个数据结构存到计算机中。
数据的存储结构主要有顺序存储以及链式存储。

1. 顺序存储
   把逻辑上相邻的元素存储在物理上也相邻的存储单元中。-数组
   在程序中典型处理⽅式即数组。即数据不仅在逻辑上是连续的，物理上也是连续的
2. 链式结构
   通过指针来存储前⼀个或下⼀个数据元素的地址，从⽽实现元素和元素之间的关系

数据的运算

数据的运算（针对数据的各种操作），包括数据结构的实现，以及基于数据结构上的各种操作

• 创建数据结构；
• 增加数据；
• 删除数据；
• 查找数据；
• 修改数据；
• 排序数据；
• 输出数据；

算法

什么是算法

算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对⼀定规范的输⼊，在有限时间内获得所要求的输出。

• 算法是可以没有输⼊的，⼀定要有输出的。没有输出的算法是没有意义的。
  简单来说算法就是⼀系列的步骤，⽤来将输⼊数据转化成输出结果

算法好坏的度量

【事前分析法】
算法设计好后，根据算法的设计原理，只要问题规模确定，算法中基本语句执⾏次数和需求资源个数基本也就确定了

算法执⾏所需资源的个数与问题规模n有关。因此可以根据算法执⾏过程中对空间的消耗来衡量算法的好坏，这就是空间复杂度
算法中基本语句总的执⾏次数与问题规模n有关。因此可以根据算法执⾏过程中，所有语句被执⾏的次数之和来衡量算法的好坏，这就是时间复杂度。
综上所述，时间和空间的消耗情况就是我们度量⼀个算法好坏的标准，也就是时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度

在计算机科学中，算法的时间复杂度是⼀个函数式$T(N)$ ，它定量描述了该算法的运⾏时间。这个函数式$T(N)$计算了程序中语句的执⾏次数

计算⼀下fun中++count语句总共执⾏了多少次

void fun(int N)  
{  
	int count = 0;  
	for(int i = 0; i < N; i++)  
	{  
		for(int j = 0; j < N; j++)  
		{  
			++count; // 执⾏次数是 n*n，也就是 n^2  
		}  
	}  
	for(int k = 0; k < 2 * N; k++)  
	{  
		++count; // 执⾏次数是 2*n  
	}  
	int M = 10;  
	while(M--)  
	{  
		++count; // 执⾏次数 10  
	}  
}

fun 函数 ++count 语句的总执⾏次数：
T (N) = N^2 + 2 × N + 10

• 当N = 10 时，T (N) = 100 + 20 + 10 = 130
• 当N = 100 时，T (N) = 10000 + 200 + 10 = 10210
• 当N = 1000 时，T (N) = 1000000 + 2000 + 10 = 1002010
• 当N = 10000 时，T (N) = 100000000 + 20000 + 10 = 100020010

⼤O表⽰法

在上述案例中，对N取值进⾏分析，随着N的增⼤，对结果影响最⼤的⼀项是N^2 ，2xN和10可以忽略不计，算法执⾏时间的增⻓率与$T(N)$中的N^2的增⻓率基本⼀致。
因此，在计算时间复杂度的时候，⼀般会把$T(N)$中对结果影响不⼤的项忽略掉，该种表⽰时间复杂度的⽅式称为⼤O渐进时间复杂度-粗略的估计⽅式，只看影响时间开销最⼤的⼀项。
所以对于上述fun函数，其时间复杂度为$O(T(N))=O(N^2+2N+10)$，取最⾼阶项最终为：$O(N^2)$

推导⼤O渐进时间复杂度的规则

1. 时间复杂度函数式T (N)中，只保留最⾼阶项，去掉那些低阶项；
2. 如果最⾼阶项存在且不是1 ，则去除这个项⽬的常数系数；
3. T (N) 中如果没有N 相关的项⽬，只有常数项，⽤常数1 取代所有加法常数。

最优、平均和最差时间复杂度

在n 个整形元素数组中，检测x 是否存在，若存在返回其在数组中的下标，否则返回-1

int find (int a[], int n, int x)  
{  
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{  
		if (a[i] == x)  
		return i;  
	}  
	return -1;  
}

21	15	66	34	82	95	53	78	46	17
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

在查找过程中，需⽤x 与数组中元素依次⽐较，因此总的⽐较次数就是该算法的时间复杂度。则：

• 若待查找元素x 为21 ，只需要⽐较1 次，为算法的最优(好)情况。
• 若带查找元素x 为17 ，或者是不存在的元素，需要⽐较n 次，为算法的最坏(差)情况。
• 所有情况的⽐较次数之和，除以总情况，为算法的平均情况。
  查找第⼀个元素需⽐较1次，查找第2个元素需⽐较2次，…，查找第n个元素需⽐较n次，假设每个元素查找的概率相同，则平均⽐较次数为
  f(n)=1+2+3+⋯+nn=(1+n)×n2n=1+nn f(n)=\frac{1+2+3+\dots+n}{n}=\frac{(1+n)\times n}{2n}=\frac{1+n}{n}