网络优化2|最小生成树|Kruskal|Prim|Matlab

最小生成树问题

树

连通图$G=(V,E)$，若G中不含任何回路，则称G为树。
$|V|=1$时称之为平凡树

生成树

$G=(V,E)$，若G的一个生成子图是一棵树，则称之为G的一棵生成树，或者支撑树

定理

任何连通图至少有一棵生成树

最小生成树

无向图G的所有生成树中，边的权值总和最小的称为G的最小生成树，或最短树

性质

假设一个图中存在最小生成树，并且该图具有n个节点，m条边，则该图的最小生成树一定含有n个节点，并且具有n-1条边

最小生成树构造方法

1. Kruskal算法
   每次选择一条最小且不会构成回路权边直至构成一个生成树
2. Prim算法
   从一个结点的子图开始构造生成树：
   选择连接当前子图和子图外结点的最小权边，将相应结点和边加入子图，直至将所有结点加入子图。

构造最小生成树Kruskal算法

Kruskal算法基本思想

1. 按所有边权值排序，升序（从小到大）
2. 按排好序的边集合，选择一条边加入生成树
   贪心准则：不会产生环路
   按耗费递增顺序考察每条边

• 若产生环路，丢弃
• 否则，加入

Kruskal算法示例

$$B=(\begin{array}{cccccccccc}1& & 1& & 2& & 2& & 3& \\ 2& & 3& & 3& & 4& & 5& \\ 1& & 2& & 3& & 5& & 4& \end{array}$$