网络优化|单源最短路|Dijkstra|Floyd|Matlab

图和网络可以用来描述集合元素和元素之间关系。大量的最优化问题都可以抽象为网络模型加以解释，描述和求解。
图与网络模型在建模时具有直观、易理解、适应性强等，广泛应用在管理科学、物理学、化学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学以及军事科学等领域。
一些实际网络，如运输网络、电话网络、电力网络、计算机网络、社交媒体网络等，都可以用图的理论加以描述和分析，并借助计算机算法直接求解。
图与网络理论和线性规划、整数规划等最优化理论和方法相互渗透，促进了图论方法在实际问题建模中的应用。

在数学建模竞赛中，图论与网络模型也是比较常见的一种模型，它经常和其他模型结合共同完成建模任务。例如：
1998B灾情巡视路线
2001B公交车调度
2007B乘公交，看奥运
2011B交巡警服务平台的设置与调度
2013B碎纸片的拼接复原
2021B穿越沙漠等赛题就采用了图论相关模型和算法来分析建模和求解

图与网络基础

图的概念与表示

一个图主要由两部分组成。元素构成的顶点集，和元素之间关系构成的边集
（点）
我们把元素画成一个小圆圈，若两个元素之间存在某种关系，就用一条线段连接这两个小圆圈，这个线段就称为是这两点之间的边
图的表示方法有很多，例如集合法、画图法、矩阵表示邻接表等。

图的集合表示与画图表示

集合表示为
V(G)={ v1,v2,v3,v4,v5} V(G)=\left\{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5} \right\} V(G)={ v1​,v2​,v3​,v4​,v5​}
E(G)={ e1,e2,e3,e4,e5,e6} E(G)=\left\{ e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6} \right\} E(G)={ e1​,e2​,e3​,e4​,e5​,e6​}
其中
$$e_1=v_1{v}_2,e_2=v_2{v}_3,e_3=v_3{v}_5$$
$$e_4=v_4{v}_1,e_5=v_4{v}_5,e_6=v_5{v}_1$$

赋权图(网络)
每条边都有一个非负实数对应的图，这个实数称为这条边的权

子图，生成图，生成子图
点集包含在另一个图的点集里面，边集也包含在另一个图的边集里面
生成子图，包含另一个图的所有顶点

顶点的度：依附于某个顶点的边的数目
正则图：所有顶点的度都相同

二部（分）图：所有顶点可以分为不相交的两个集合。

设$W=v_0{e}_1{v}_1{e}_2\dots e_k{v}_k$，其中
vi∈V,i∈{ 0,1,2,…,k}, ej∈E, j∈{ 1,2,…,k} v_{i}\in V,i\in \left\{ 0,1,2,\dots,k \right\},\ e_{j}\in E,\ j\in \left\{ 1,2,\dots,k \right\} vi​∈V,i∈{ 0,1,2,…,k}, ej​∈E, j∈{ 1,2,…,k}
$e_i$与$v_{i-1}$和$v_i$关联，称W是图G的一条道路（walk）
简称路，k为路长，$v_0$为起点，$v_k$为终点各边相异的道路称为迹（trail）；
各顶点相异的道路称为轨道（path）；
起点和终点重合的道路称为回路；
起点和终点重合的轨道称为圈。

在无向图中，
如果从顶点u到顶点v存在道路，则称顶点u和v是连通的。
如果图中的任意两个顶点u和v都是连通的，则称图是连通图，否则称为非连通图。
非连通图中的连通子图，称为连通分支

在有向图中，如果从顶点u到顶点v存在有向道路，则称顶点u和v是连通的。
如果图中的任意两个顶点u和v都是连通的，则称图是强连通图。
若忽略边方向后得到的无向图是连通的，则称为是弱连通图

图和网络的矩阵表示

图和网络的表示有很多种，最直观的是图示法
图示法不方便用计算机处理，因此图和网络经常表示成矩阵形式，方便计算机存储和计算
常用矩阵表示：邻接矩阵和边权矩阵

图的邻接矩阵

$$A_{ij}=\{\begin{array}{c}1,如果v_i和v_j相邻\\ 0,否则\end{array}$$
$$A=\left(\begin{array}{ccccccc}0& & 1& & 1& & 0\\ 0& & 0& & 0& & 1\\ 0& & 0& & 0& & 0\\ 1& & 0& & 0& & 0\end{array}\right)$$

$$A=\left(\begin{array}{ccccccccc}0& & 1& & 0& & 1& & 1\\ 1& & 0& & 1& & 0& & 0\\ 0& & 1& & 0& & 0& & 1\\ 1& & 0& & 0& & 0& & 1\\ 1& & 0& & 1& & 1& & 0\end{array}\right)$$

赋权图的邻接矩阵

对赋权图，其邻接矩阵$W=(w_{ij}{)}_{n\times n}$，其中
$$w_{ij}=\{\begin{array}{c}顶点v_i和v_j\end{array}$$