微分方程模型|凶案时间推断|欧拉法|Vanderpol方程

最新推荐文章于 2025-11-24 11:16:17 发布

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#数学建模

微分方程简介

在研究某些实际问题时，希望能得到问题内部特征在数量方面的函数关系，利用此关系对实际问题的规律进行研究。但是在实际中往往很难或者无法直接得到各内部特征之间的联系，问题的特性反而表现为相关变量的变化率之间的关系。利用这些关系，我们可以建立相应变量之间的微分方程模型
在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是以客观规律为基础，已经渗透到经济学、人口问题以及其他社会科学领域，影响非常广泛。

微分方程的数学描述

微分方程：联系自变量、未知函数及未知函数导数的方程
$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$

t，自变量
x，未知函数，因变量
f(x,t)，函数关系

若自变量个数为一个，称为常微分方程(ODE）
若自变量个数为两个或两个以上，称为偏微分方程（PDE）
未知函数导数实际出现的最高阶数n称为微分方程的阶
$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=a\qquad 二阶微分方程$
$\frac{\partial u}{\partial t}=a^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\quad其中u(x,t)（热传导方程）$

微分方程的解

若微分方程中含有任意常数，且独立的任意常数个数与方程的阶数相等，则称这个解为微分方程的通解
$\frac{1}{2}at^{2}+C_{1}t+C_{2}是微分方程 \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=a的通解$
$\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=f(x,t) \\ x(t_{0})=x_{0} \end{matrix}\right. ,称为常微分方程的初值问题$
$x(t_{0})=x_{0}此条件称为初值条件$

微分方程的初值问题

初值问题主要讨论的问题有：
初值问题是否存在解；解的存在域有多大；解是否唯一；当初值变化时，解如何变化；等等。

定量
解有初等函数表达式（解析解）
数值解：计算机求解
定性
稳定性

微分方程建模基本方法

微分方程模型是一类应用十分广泛而且最常见的数学模型，其建模方法在数学建模应用中占有重要的地位

微分方程模型是机理分析建模方法的最佳体现；
微分方程模型是物理、生物进化等定律最精确的定量描述

微分方程建模基础

根据对象的特征和研究目的，对问题进行必要的简化和假设，将假设用精确的语言给出适合的数学语言表达。然后根据假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律建立各个量之间的等式关系或其他数学结构
基于各种已有的确定性的、一般性的机理和理论，结合实际情况建立微分方程模型

微分方程建模准则

确定影响变化的主要因素：确定各因素之间的因果关系，也就是确定一种函数关系，根据内在的机理分析确定各种量之间的平衡关系
改变量=输入量－输出量：只要明确什么在变，如何变，理清楚输入量输出量有哪些，如果输入量和输出量在数值上不相等，微分模型就派上用场

微分方程建模过程

转化翻译：
问题的表面分析。有许多表示导数的常用词，如：速率，增长、衰变、边际、弹性等。改变、变化、增加、减少这些词可能是一种暗示信号，只需清楚什么在变，随什么而变，这时可考虑用微分方程建模
机理分析：
基于基本的原理或物理定律，作合理的推导与类比，如：能量不会消失，只是互相转化.要遵循物质守恒，能量守恒等已知公认的定律
建立平衡式：
变化率 = 输入率 - 输出率
微分方程模型：
微分方程是在任何时刻必须正确的瞬时表达式。如看到了表示导数的关键词，就要寻找 $y^{'} (t)$ 与 $y (t)$ ， $t$ 的关系。首先将注意力集中在文字形式的关系式：变化率 = 输入率 - 输出率，然后准确填好式中的所有项.
单位：
采用统一的物理单位确保等式平衡；采用物理学中约定熟成的数学符号
定解条件：
系统在某一特定时刻的信息，独立于微分方程而成立。利用它们来确定有关的常数，包括比例系数、原微分方程的其它参数以及解中的系数.

凶案时间推断

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问题分析
该问题符合物理学的冷却现象，可以应用Newton冷却定律：“物体在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比”来解决。
用速度来描述物体在某时刻内的变化率，涉及到导数概念，反映在数学模型上就可以运用微分方程来建模
模型建立
按一般情形考虑，记 $T_{t}$ 为时刻 $t$ 物体的温度， $T_{0}$ 为初始时刻 $t_{0}$ 物体的温度（本例中为受害人被害时的体温）， $T_{e}$ 为介质的温度（环境温度），则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程模型
$\left\{\begin{matrix} \frac{dT_{t}}{dt}=-\lambda(T_{t}-T_{e}) \\ T_{t_{0}}=T_{0} \end{matrix}\right.$
其中 $λ>0\lambda>0$ 为比例系数，由物体和介质的性质决定，负号则表示温度是下降的

尸体的温度随时间的变化率与温差成正比
同时被害人刚刚被害的时候，体温是37度

模型求解

对上述模型采用分离变量法求解，可得
$T_{t}=(T_{0}-T_{e})e^{-\lambda(t-t_{0})}+T_{e}$

$T_{t}$ ，任意时刻尸体的温度
这就是物体冷却过程中，物体温度随时间变化的函数关系，再根据物体与介质的性质决定入值之后，利用 $T_{0},T_{e},T_{t}$ 等已知条件，可以得到便于应用的形式
$t-t_{0}=\frac{1}{\lambda}\ln \frac{T_{0}-T_{e}}{T_{t}-T_{e}}$