时间序列分析2|ARIMA模型|SARIMA模型

ARMA模型的定阶

自相关和偏自相关系数法

通过观察样本的自相关系数(ACF)和偏自相关系数(PACF)，进行大体的判断

模型定阶的经验方法

截尾：

1. 最初的d阶样本(偏)自相关系数明显在2倍标准差范围外
2. 95%的(偏)自相关系数都落在2倍标准差的范围以内
3. 非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然
   这时，通常视为d阶截尾
   

拖尾：

1. 有超过5%的相关系数落在2倍标准差范围之外
2. 显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或者非常连续
   通常视为相关系数拖尾
   

缺点

1. 由于样本随机性，§ACF是截尾还是拖尾有时仍然会难以准确判断
2. ARMA(p.,q)模型阶数p和q一般难以准确判断，主观性强

信息准则函数定阶法

基于相关系数图形的定阶法具有很强的主观性，是一种较为粗略的方法
信息准则定阶法则可以帮助我们在一定标准下从待定模型中选择相对最优的模型

1. AIC信息准则
   AIC准测函数(最小化)
   $$AIC(K)=-2\ln (L)+2K$$
   L是似然函数，K是模型参数个数
   简化为
   $$AIC(K)=n\ln ({\hat{\sigma }}^2)+2K$$
   ${\widehat{siamg}}^2$是模型误差方差的ML估计(每一个样本的对应的拟合的误差的平方和再除以自由度)，n是样本个数
   说明：

• 既考虑模型预测准确性(第一项)，也考虑模型本身的复杂程度(第二项)
• 在一定程度上避免过拟合
• 但是，当样本数量n较大时，更倾向于选择更高阶模型。

2. BIC信息准则
   BIC准测函数(最小化)
   $$BIC(K)=-2\ln (L)+\ln (n)K$$
   L是似然函数，K是模型参数个数
   说明：

• 既考虑模型预测准确性(第一项)，也考虑模型本身的复杂程度(第二项)
• 与AIC相比，BIC进一步加大了对模型复杂性的惩罚
• 更加倾向于选择参数少的简单模型

ARIMA模型的概念

非平稳时间序列

在实际应用中，经常会遇见不满足平稳性的时间序列，尤其在经济领域和商业领域中，多数时间序列都是平稳的

时间序列模型

平稳时间序列

• 特征：均值、方差，自协方差都是稳定的，与起止时间无关。
• 建模：ARMA模型
  非平稳时间序列
• 特征：均值非平稳，方差和自协方差非平稳
• 处理方法：差分运算，平稳化变换等
• 建模：ARIMA模型，SARIMA模型
  均值非平稳
  均值非平稳性
• 特征：均值时变
  常用模型
• 确定性趋势模型：把时间t作为自变量，序列观测值作为因变量，建立
  序列值随时间变化的回归模型
• 随机趋势模型：差分运算、ARIMA模型，SARIMA模型

差值运算

一阶差分
$$\nabla X_t=X_t-X_{t-1}=(1-B)X_t$$
d阶差分
$${\nabla }^d{X}_t={\nabla }^{d-1}{X}_t-{\nabla }^{d-1}{X}_{t-1}=(1-B{)}^d{X}_t$$