时间序列分析1|AR模型|MA模型|ARMA模型

时间序列的基本概念

时间序列的定义

自然界以及社会经济生活中存在着大量的指标都按照年、季、月或日等进行统计，随着时间的推移，就形成了相应的时间序列
时间序列是某一统计指标长期变动的数量表现
时间序列分析就是分析和研究时间序列在长期变动过程中所存在的统计规律性

• 时间序列：按时间顺序排列的一组随机变量
  $$\dots ,X_1,X_2,\dots ,X_t,\dots$$
  简记为{ Xt,t∈T}或{ Xt}\left \{ X_{t},t\in T \right \} 或\left\{ X_{t}\right\}{ Xt​,t∈T}或{ Xt​}
• 观测值序列：时间序列的n个有序观测值，称之为长度为n的观测值序列
  x1,x2,…,xn或{ xt:t=1,2,…,n} x_{1},x_{2},\dots,x_{n}或\left\{ x_{t}:t=1,2,\dots,n \right\} x1​,x2​,…,xn​或{ xt​:t=1,2,…,n}
• 时间序列分析的主要目的

1. 揭示时间变化的统计规律性
2. 预测未来事件
3. 控制将来事件

时间序列的特征统计量

均值：时间序列$X_t$的数学期望
$${\mu }_X(t)=E[X_t],t\in T$$
方差：时间序列$X_t$的方差，反映了时间序列$X_t$取值的离散程度
$$D_X(t)={\gamma }_X(t,t)=E[X_t-{\mu }_X(t){]}^2,t\in T$$
自协方差：$X_t$与$X_s$的协方差
$${\gamma }_X(t,s)=E[(X_t-{\mu }_X(t))(X_s-{\mu }_X(s))],t,s\in T$$
自相关系数：除以标准差，反映时间序列前后不同期的互相的线性的相关程度
$${\rho }_X(t,s)=\frac{{\gamma }_X(t,s)}{\sqrt{D_X(t)\cdot D_X(s)}},t,s\in T$$

特征统计量的估计

已知时间序列
{ Xt, t∈T} \left\{ X_{t},\ t\in T\right\} { Xt​, t∈T}
在n个时刻的观测值$x_1,x_2,\dots ,x_n$
样本均值
$$\hat{\mu }=\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$
样本方差
$$\hat{\gamma }(0)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$
样本延迟k自协方差
$$\hat{\gamma }(k)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n-k}(x_i-\bar{x})(x_{i+k}-\bar{x})$$
样本延迟k自相关系数
$$\hat{\rho }(k)=\frac{\hat{\gamma }(k)}{\hat{\gamma }(0)}=\frac{{\sum }_{i=1}^{n-k}(x_i-\bar{x})(x_{i+k}-\bar{x})}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$

时间序列的平稳性

• 严平稳
  如果时间序列{ Xt,t∈T}\left\{ X_{t},t\in T\right\}{ Xt​,t∈T}的概率分布与时间t无关，则称该时间序列为严平稳的
  严平稳要求时间序列的所有统计性质都不会随着时间的推移而发生变化，这个要求比较苛刻。
• 宽平稳
  如果时间序列{ Xt,t∈T}\left\{ X_{t},t\in T\right\}{ Xt​,t∈T}满足
  $$\begin{array}{c}E[X_t]=\mu ,\mu 为常数,\forall t\in T\\ E[X_t^2]为常数，\forall t\in T\\ {\gamma }_X(t,s)={\gamma }_X(k+t,k+s),\forall t,s,k且k+s,k+t\in T\end{array}$$
  则称{ Xt,t∈T}\left\{ X_{t},t\in T\right\}{ X