多目标规划模型|运输问题|生产组织与计划问题|工厂选址问题|设备购置和安装问题|旅行商问题

运输问题的案例及求解

运输问题的Lingo多段式编程

1. 决策变量
   $$\begin{array}{c}{X}_{ij}:A_i\to B_j\\ i=1,2,\dots ,6\\ j=1,2,\dots ,8\end{array}$$
2. 目标函数
   假设单线运费$C_{ij}$
   $$A_{ij}\to B_{ij}:C_{ij}{X}_{ij}$$
   总运费：
   $$minz=\sum _{i=1}^6\sum _{j=1}^8{C}_{ij}{X}_{ij}$$
3. 约束条件
   每个产地的产量限制
   $$s.t\sum _j^8{x}_{ij}\le a_{i}i=1,2,\dots ,6$$
   每个销地的需求的限制
   $$\sum _{i=1}^6{x}_{ij}=b_{j}j=1,2,\dots ,8$$
   决策变量的非负约束
   $$x_{ij}\ge 0i=1,2,\dots ,6;j=1,2,\dots ,8$$
4. 用
   $x_{ij}$：表示$A_i$到$B_j$的运量，$i=1,2,\dots ,6j=1,2,\dots ,8$
   $c_{ij}$：表示$A_i$到$B_j$的单位运费，$i=1,2,\dots ,6j=1,2,\dots ,8$
   $a_i$：表示产地$A_i$的生产量，$i=1,2,\dots ,6$
   $b_j$：表示需求地$B_j$的需求量，$j=1,2,\dots ,8$

Lingo多段式编程

model:
sets:
	warehouses/1..6/:capacity;
	vendors/1..8/:demand;
	links(warehouses,vendors):cost,volume;
endsets

min=@sum(links:cost*volume);

@for(vendors(J):@sum(warehouses(I):volume(I,J))=demand(J));
@for(warehouses(I):@sum(vendors(J):volume(I,J))<capacity(I));

data:
	capacity=60 55 51 43 41 52;
	demand=35 37 22 32 41 32 43 38;
	cost=6 2 6 7 4 2 9 5
4 9 5 3 8 5 8 2 
5 2 1 9 7 4 3 3 
7 6 7 3 9 2 7 1
2 3 9 5 7 2 6 5
5 5 2 2 8 1 4 3;
enddata
end

• warehouses和vendors是两个集合，分别表示产地和需求地
• links是派生集，是w和v两个的集合派生出来的集合，相当于之间的连线，有单位费用cost和决策变量volume，也就是运量
• 目标函数就是产地和需求地连线上所产生的费用的总和，对所有线条的集合，就是48条，用sum求和
• vendors(J):表示对每个需求地，$j=1,2,\dots ,8$，@for对这八家进行循环
  • 对每一个需求地来说，所有产地给他的总量的求和要等于需求量
• warehouses(I)：表示每个产地，对六个产地进行循环
  • 对每个产地来说，给所有需求地的销售总量要小于等于产量
    

运输问题的数学模型

运输问题的描述

产销平衡问题
设$x_{ij}$表示产地$A_i$运往销地$B_j$的运量
即
$$\sum _{i=1}^m{a}_i=\sum _{j=1}^n{b}_j$$
$$minz=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}$$
$$s.t.\sum _{j=1}^n{x}_{ij}=a_{i}i=1,2,\dots ,m$$
$$\sum _{i=1}^m{x}_{ij}=b_{j}j=1,2,\dots ,n$$
$$x_{ij}\ge 0i=1,2,\dots ,mj=1,2,\dots ,n$$
产销不平衡问题

1. 供大于求

$$\sum _{i=1}^m{a}_i>\sum _{j=1}^n{b}_j$$
$$minz=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}$$
$$s.t.\sum _{j=1}^n{x}_{ij}\le a_{i}i=1,2,\dots ,m$$
$$\sum _{i=1}^m{x}_{ij}=b_{j}j=1,2,\dots ,n$$
$$x_{ij}\ge 0i=1,2,\dots ,mj=1,2,\dots ,n$$
2. 供不应求

$$\sum _{i=1}^m{a}_i<\sum _{j=1}^n{b}_j$$
$$minz=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}$$
$$s.t.\sum _{j=1}^n{x}_{ij}=a_{i}i=1,2,\dots ,m$$
$$\sum _{i=1}^m{x}_{ij}\le b_{j}j=1,2,\dots ,n$$
$$x_{ij}\ge 0i=1,2,\dots ,mj=1,2,\dots ,n$$

经典的线性规划模型

运输问题(同上)

生产组织与计划问题

$$minz=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}$$
$$s.t.\sum _{j=1}^n{t}_{ij}{x}_{ij}\le a_{i}i=1,2,\dots ,m$$
$$\sum _{i=1}^m{x}_{ij}\ge b_{j}j=1,2,\dots ,n$$
$$x_{ij}\ge 0,x_{ij}\in Ii=1,2,\dots ,mj=1,2,\dots ,n$$

工场选址问题

$$minz=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}+\sum _{i=1}^m{a}_i{y}_i$$
$$s.t.\sum _{j=1}^n{x}_{ij}\le D_i{y}_{i}i=1,2,\dots ,m$$
$$\sum _{i=1}^m{x}_{ij}\ge b_{j}j=1,2,\dots ,n$$
xij≥0yi={0,1}. x_{ij}\ge 0 \quad y_{i}=\left\{0,1\right\}. xij​≥0yi​={0,1}.
$$\begin{array}{c}上式中y_i的意义是\\ y_i=\{\begin{array}{c}1在地址i建厂\\ 0不在地址i建厂\end{array}\end{array}$$

设备购置和安装问题

$$maxz=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}$$
$$s.t.\sum _{j=1}^n{x}_{ij}\le y_i+a_{i}i=1,2,\dots ,m$$
$$\sum _{i=1}^m{x}_{ij}\le b_{j}j=1,2,\dots ,n$$
$$\sum _{i=1}^m{p}_i{y}_i\le M$$
$$x_{ij}\ge 0,x_{ij}\in I$$

旅行商问题

定义
$$x_{ij}=\{\begin{array}{c}1货郎选择的路线包含从A_i到A_j的路径\\ 0否则\end{array}$$
则相应的模型为
$$

min\ z=\sum_{i=1}^{{n}\sum_{j=1}}{n}d_{ij}x_{ij}

s.t.\left{\begin{matrix}
\sum_{j=1}^{n}x_{ij}=1,\qquad i=1,2,\dots,n \
\sum_{i=1}^{n}x_{ij}=1,\qquad j=1,2,\dots,n \
\sum_{i,j\in S}^{n}x_{ij}\le |S|-1,2\le |S|\le n-1,S\subset\left{1,2,\dots,n\right}
\end{matrix}\right.

x_{ij}\in \left{0,1\right},\quad i,j=1,2,\dots,n,\quad i\ne j
$$
|S|表示的是集合S中点的总数，表示每S个元素之间路径的个数不超过S-1
当S取3时，三个元素之间最多只有两条路
可以回避掉自回路

多目标规划模型及主要解法

多目标规划模型

在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个。这一类问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问题

设该厂每周生产布料$A_1,A_2,A_3$的小时数为$x_1,x_2,x_3$，总利润为$y_1=f_1(x)$，总能耗为$y_2=f_2(x)$，其中$x=(x_1,x_2,x_3{)}^T$，则上述问题的数学模型为：
$$\begin{array}{c}min{y}_1=-f_1(x)\\ min{y}_2=f_2(x)\\ s.t.\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3\le 80\\ 1.2\times 0.4x_1+1.3\times 0.5x_2+1.4\times 0.36x_3\le 160\\ 0\le x_1\le 100,0\le x_2\le 100,0\le x_3\le 100\end{array}\\ y_1=-f_1(x)=0.15\times 400x_1+0.13\times 510x_2+0.20\times 360x_3\\ y_2=f_2(x)=1.2\times 0.4x_1+1.3\times 0.51x_2+1.4\times 0.36x_3\end{array}$$

多目标规划模型解法

直接解法和间接解法
常用的多为间接解法，根据问题的实际背景和特征，设法将多目标优化问题转化为单目标优化问题

主要目标法

在多目标优化问题中，若能从p个目标中，确定一个目标为主要目标，例如$f_1(x)$，而把其余目标作为次要目标，并根据实际情况，确定适当的界限值，这样就可以把次要目标作为约束处理，而将多目标优化问题转化为求解线性或非线性规划问题
$$\begin{array}{c}min{f}_1(x)\\ s.t.\{\begin{array}{c}{g}_i(x)\le 0,i=1,2,\dots ,m\\ f_j(x)\le a_j,j=2,3,\dots ,p\end{array}\end{array}$$
此规划问题的最优解必为原问题的弱有效解。
主要目标法求得的解必是原问题的弱有效解或有效解

分层序列法

把多目标规划问题中的p个目标的重要性进行排序
先以主要目标为目标函数，约束条件不变，求出最优解与最优值
第二次，以次要目标为目标函数，这次在约束条件中，在不牺牲主要目标的最优值的情况下，寻找次要目标的最优值
在第一次主要目标有多个最优解的情况下，第二次来寻找次要目标的最优解

如果第一次的最优解是唯一的，第二次就没有意义了
为防止这种情况出现，第二次主要目标进入约束条件后，会放松一点条件，加上一个宽容值

加权求和法

给两个目标设计权重
$$0\le w_1,w_2\le 1,w_1+w_2=1$$
目标函数变为
$$min{w}_1{f}_1(x)+w_2{f}_2(x)$$
约束条件不变