【No.11】蓝桥杯并查集|路径压缩|合并优化|按秩合并|合根植物(C++)

并查集

并查集是大量的树（单个节点也算是树）经过合并生成一系列家族森林的过程。
可以合并可以查询的集合的一种算法
可以查询哪个元素属于哪个集合
每个集合也就是每棵树都是由根节点确定，也可以理解为每个家族的族长就是根节点。
元素集合的代表性元素，也是第一个被分到这个集合的元素
举个数字和字母的例子如下。
初始森林：
经过的一系列合并后的状态（不唯一，举个栗子）：
A T都是字母集合，把A和T放在同一个集合，A作为T的“介绍人(父亲)“
U T都是字母集合，把U和T放在同一个集合，T作为U的“介绍人(父亲)“
1 2都是数字集合，把1和2放在同一个集合，1作为2的“介绍人(父亲)“
C B都是字母集合，把C和B放在同一个集合，B作为C的“介绍人(父亲)“
2 4都是数字集合，把2和4放在同一个集合，2作为4的“介绍人(父亲)“
C R都是字母集合，把C和R放在同一个集合，C作为R的“介绍人(父亲)“
8 4都是数字集合，把8和4放在同一个集合，4作为8的“介绍人(父亲)“
90 8都是数字集合，把90和8放在同一个集合，8作为90的“介绍人(父亲)“
R I都是字母集合，把R和I放在同一个集合，R作为I的“介绍人(父亲)“

此时A节点的父示是自己，我们杯这种元素为该集合的祖先。用于代表该集合，如A代表的是字母集合。
相似的，1的的父亲是自己，所以1为该集合的祖先，用于代表该数字集合。
我们会发现一个问题，如果查询I属于那个集合，我们要向上跳6次，这非常消耗我们的时间。链式的并查集存储的查询效率太低，在多次查询和大量数据时必定TLE，所以我们需要进行优化，引入路径压缩
最终合并后的状态：
注：示意图的位置与存储物理位置无关，只代表逻辑关系。

我们每次查询都将路径压缩，使得Fa指针指向祖先节点而不是父节点。在每次合并两个集合时先查询(可选，如果合并过多插入很少可以只在查询时合并)那么最后形成的并查集数据结构会如左图这种形式，此时有着高效的查询效率能够在0(1)的时间复杂度内返回属于什么集合。
这里说的是最后的查询，如果考虑路径压缩的过程时间复杂度应该是$O(\log n)$。

并查集的存储结构

并查集采用数组表示整个森林，初始时每个森林的树根为自己。
C++ 存储与初始化：

# define Maxn 200

// 假设所需数量为200

int fa[Maxn+1]

void init()
{
    for(int i =0;i<=Maxn; i++)
        fa[i]=i;  //i的父亲是i，指向自己
}

查询

一般用递归法实现对代表元素的查询：递归访问父节点，直至根节点（根节点的标志就是父节点是本身）。
根节点相同的两个元素属于同一个集合
所以判断 A，B 是否属于一个集合直接判断 find(A)和 find(B)是否相同即可。
C++ 查询：

int find(int x)
{
    if(fa[x] == x)
        return x;
    else
        return find(fa[x]);
}

我们这里有一个问题，当树的链很长时，比如：

如果每次都查询最后一个，那么他就要经过多次递归，非常消耗时间，这时候我们就要引入路径压缩。

路径压缩

路径压缩是为了解决当树的高度过高的时候，提高查询时效的方法。
解决方式也很简单，在递归的同时将路径压缩，那么上面的图经过一次查询后的效果如下。

C++ 查询带路径压缩：

int find(int x)
{
    if(x == fa[x])
        return x;

    else
    {
        fa[x] = find(fa[x]);
        //父节点设为根节点

        return fa[x];
        //返回父节点
    }
}

合并

合并的方式很简单，就是把一颗树的根节点设置为另一棵树的根节点即可。
还有一种方式是按秩合并，但是我们使用路径压缩时间复杂度就已经很低了，如果在引入 rank 相对会有些复杂。而且对于我们的使用路径压缩一种方式就已经足够。并且路径压缩和按秩合并一起使用时会影响 rank