【No.5】蓝桥杯深度优先搜索|剪枝|N皇后问题|路径之谜(C++)

搜索：暴力法算法思想的具体实现
搜索：通用的方法，一个问题如果比较难，那么先尝试一下搜索，或许能启发出更好的算法
技巧：竞赛时遇到不会的难题，用搜索提交一下，说不定部分判题数据很弱，得分了

暴力法
把所有的可能性都列举出来，一一验证，简单直接
利用计算机强大的计算能力和存储能力
依赖的是递归

深度优先搜索

Depth First Search 即 DFS，意为深度优先搜索，是所有的搜索手段之一。它是从某个状态开始，不断进行状态转移，直到不能转移后，向后回退，一直到遍历完所有的状态。

深度优先搜索基本概念

作为搜索算法的一种，DFS 主要是用于解决 NP 完全问题。但是，深度优先搜索算法的时间复杂度较高，深度优先搜索是 $O(n!)$ 的阶乘级算法，它的效率非常低，在数据规模变大时，此算法就难以解决当前的问题了。
所以搜索算法使用于状态节点较小规模的问题。

DFS 的设计步骤

按照定义设计：

1. 确定该题目的状态（包括边界）
2. 找到状态转移方式
3. 找到问题的出口，计数或者某个状态
4. 设计搜索

DFS基础：递归和记忆化搜索

形式上，递归函数是自己调用自己，是一个不断重复的过程
递归的思想是把大问题逐步缩小，直到变成最小的同类问题的过程，而最后的小问题的解是已知的，一般是给定的初始条件
到达最小问题之后，再回溯，把小问题的解逐个带回给更大的问题，最终大问题也得到了解决
递归有两个过程：递归前进、递归返回
在递归过程中，由于大问题和小问题的解决方法完全一样，那么大问题的代码和小问题的代码可以写成一样
一个递归函数，直接调用自己，实现了程序的复用

DFS的代码框架

ans    //答案，用全局变量表示
def dfs (层数 (状态), 其他参数):
	if (条件判断)      //到达最底层(达到最终状态)，或者满足条件退出
		更新答案       //答案一般用全局变量表示
		return        //返回到上一层

	剪枝              //在进一步DFS之前剪枝
	for (枚举下一层可能的情况):
	//对每一个情况继续DFS
		if (used[i] == 0):    
		//如果状态i没有用过，就可以进入下一层
			used[i] = 1  //称为保存现场，占有现场
			//标记状态i，表示已经用过，在更底层不能再使用
			dfs(层数+1, 其他参数)  
			//下一层
			used[i] = 0  //称为恢复现场，释放现场
			//恢复状态，回溯时，不影响上一层对这个状态的使用

	return   //返回到上一层

剪枝
题目中给了要求是y<30
当扩展到y=29这个点以后，就不需要继续往后扩展了
伪代码：

int check(参数)
{
   
   
    if(满足条件)
        return 1;
    return 0;
}
bool pd(参数){
   
   
    相应操作
}
void dfs(int step)
{
   
   
        判断边界pd()
        {
   
   
            不在边界内，即回溯
        }
        尝试每一种可能
        {
   
   
               满足check条件

               标记

               继续下一步dfs(step+1)

               恢复初始状态（回溯的时候要用到）
        }
}

DFS：剪枝

剪枝：把不会产生答案的，或不必要的枝条剪掉
剪枝的关键：剪什么枝、在哪里剪
剪枝是搜索常用的优化手段，常常能把指数级的复杂度，优化到近似多项式的复杂度
可行性剪枝：对当前状态进行检查，如果当前条件不合法就不再继续，直接返回
搜索顺序剪枝：搜索树有多个层次和分支，不同的搜索顺序会产生不同的搜索树形态
最优性剪枝：在最优化问题的搜索过程中，如果当前花费的代价已超过前面搜索到的最优解，那么本次搜索已经没有继续进行下去的意义，停止对当前分支的搜索
排除等效冗余：搜索不同的分支，最后的结果是一样的，那么只搜一个分支就够了
记忆化搜索：在递归的过程中，有许多分支被反复计算，会大大降低算法执行的效率。将已经计算出来的结果保存起来，以后需要用到的时候直接取出结果，避免重复运算，从而提高了算法的效率

DFS 题目讲解

1. 状态搜索代表： N 皇后问题

题目链接
难度: 简单
标签: DFS
题目描述:
在N×N的方格棋盘放置了N 个皇后，使得它们不相互攻击（即任意 22 个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成 45 角的斜线上。你的任务是，对于给定的N，求出有多少种合法的放置方法。
输入描述:
输入中有一个正整数 N≤10，表示棋盘和皇后的数量
输出描述:
为一个正整数，表示对应输入行的皇后的不同放置数量。
输入输出样例:
示例:
输入:

5

输出:

10

运行限制:

    最大运行时间：1s
    最大运行内存: 256M

解题思路:

二维搜索问题，有一个x坐标一个y坐标
下面是用递归的深度优先搜索求解 n 皇后问题的算法描述：
这里用一个 N×N 的矩阵来表示棋盘，但是我们不需要定义这样的数组，只要心中有 N×N 的棋盘即可。

1. 算法开始：
   当前行设为第一行，当前列设为第一列，从第一行第一列开始搜索，即只能让皇后从第一行放到第 n 行。
   这样在每次判断是否满足情况时我们不用去判断是否皇后在相同行。
   我们只用判断之前的 1 到 a−1 个皇后的位置和当前第 a 个皇后的位置是否属于同一列或者斜线，判断是否同一列。
2. 判断边界：
   在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后)，若不满足，跳到第 5 步，即不符合边界条件。
   首先说一下，什么叫不符合边界条件，不只是跳出了搜索范围，剪枝也可以从这里开始，比如这里不满足条件，向下继续搜索也不会再有结果。
   这可以理解为超出边界的剪枝，我们的边界只得可能存在解的范围，这里已经超出有解的范围，必然要被踢出。
   判断条件：
   我们用数组 $x[a]=i$ 来表示第 a 个皇后的位置在第 a 行第 i 列，我们不用考虑是否在同一行的问题你，我们只用判断之前的 1 到 a−1 个皇后的位置和当前第 a 个皇后的位置是否属于同一列或者斜线。
   判断是否属于同一列： 就判断 $x[a]$ 是否等于 $x[i]$; 判断是否属于同一斜线：等同于判断行之差是否等于列之差也，即 $$\begin{array}{c}abs(x[k]-x[i])\ne abs(k-i)\\ x[k]\ne x[i]\end{array}$$
3. 搜索过程：
   调用 Check 函数。
   如果 边界条件，就继续调用放下一个皇后的位置
4. Check 函数:
   如果当搜索到第 N+1 行的时候，即代表前 N 行已经搜索完了，所以这个时候正好求出了一个解，记录加一。
5. 在当前位置上不满足条件的情形，进行回溯

搜索过程

回溯，把放过的收起来
不是直接回溯到最开始，而是从第五行开始往第一行走，一层一层回溯，回到之前的每一行，继续往下一列走，判断有没有新的解，没有的话，就继续往前回溯

回溯到第二行，找到新的解，停止回溯，往后搜索，寻找新的解

找到新的解，ans+1，第五行没有别的解了，往前回溯

代码

C++ 语言描述:
占用的代码

#include <iostream>