【No.4】蓝桥杯递推与递归法|斐波那契数列|数字三角形|42点问题|数的计算|数的划分(C++)

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已于 2024-03-19 19:01:45 修改 · 1.5k 阅读

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#蓝桥杯 #c++ #算法

于 2024-03-09 15:39:33 首次发布

本文介绍了递推法和递归法两种算法。递推法核心是找递推关系式，将复杂计算简化；递归法通过调用自身函数，利用分治策略解决问题。还结合斐波那契数列、数字三角形等蓝桥杯真题，讲解两种算法的应用，包括解题思路、代码实现及优化方法。

递归是用来做dfs，是搜索算法的基础
递推是用来做dp部分，及部分其他算法，复杂度较低，不会出现爆栈问题

递推法：

递推法是一种在数学和其他领域广泛应用的重要方法，它在计算机科学中被用作一种关键的数值求解算法。

递推算法的特点

递推法的核心在于找到递推关系式。这种方法可以将复杂的计算过程转化为简单的重复步骤，充分利用计算机在运行程序时的时间局部性和空间局部性。

递推算法的思想：

首先找到各个相邻数据项之间的递推关系；
递推关系避开了求通项公式的麻烦，尤其是对于那些难以或无法求解通项公式的题目；
将复杂问题分解为若干步骤的简单运算；
一般来说，递推算法可以视为一种特殊的迭代算法。

递推算法解题的基本思路：

将复杂计算转换为简单重复运算；
通过找到递推关系式进行简化运算；
利用计算机的特性，减少运行时间。

递推算法的一般步骤：

根据题目确定数据项，并找到符合要求的递推关系式；
根据递推关系式设计递推程序；
根据题目找到递推的终点；
单次查询可以不进行存储，多次查询都要进行存储；
按要求输出答案即可。

递归法

递归算法：

递归算法是一种自顶向下的算法，它通过不断地直接或间接调用自身的函数，通过每次改变变量完成多个过程的重复计算，直到到达边界之后，结束调用。
与递推法相似的是，递归与递推都是将一个复杂过程分解为几个简单重复步骤进行计算。
递归算法的实现的核心是分治策略，即分而治之，将复杂过程分解为规模较小的同类问题，通过解决若干个小问题，进而解决整个复杂问题。

递归算法的思想：

将复杂计算过程转换为简单重复子过程；
找到递归公式，即能够将大问题转化为小问题的公式；
自上而下计算，在返回完成递归过程。

递归算法设计的一般步骤：

根据题目设计递归函数中的运算部分；
根据题目找到递归公式，题目可能会隐含给出，也可能需要自己进行推导；
找到递归出口，即递归的终止条件。

递归法和递推法的思路已经给大家讲解得差不多了，接下来我们将结合真实的大赛题目进行讲解。这将有助于我们更好地理解和应用这两种方法。

1. 斐波纳契数列 fibonacci 问题

在一定情况下，同一个问题可以使用用递归也可以使用递推解答。一般一个问题的递推关系和递归关系都好求的话就都可以解题。
当然如果题目只有一个关系好求，那就最好采用关系好求的办法。
题目描述:
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…

在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N^*）

请求出该数列中第n个数字（n从1开始计数）是多少。

样例:

输入样例
样例1输入
6
样例2输入
4
输出样例
样例1输出
8
样例2输出
3

对于上面的样例我们进行了如下计算；

[0]=0
[1]=1
[2]=0+1
[3]=1+1=2
[4]=1+2=3
[5]=2+3=5
[6]=5+3=8

运行限制:

1. 最大运行时间：1s
2. 最大运行内存：128M

题目解析：

这个题给出递推式 F(n) = F(n-1) + F(n-2)
转化为可用的递推关系，即F(n) + F(n+1) = F(n+2)
这一通过从n=1开始循环即可完成递推，当然也可以使用递归法。

首先我们写找出递归式，F(n)= F(n-1) + F(n-2)

F(n)= F(n-1) + F(n-2)
    = F(n-2)+F(n-3)+F(n-3)+F(n-4)
//重复调用

这样我们找到了递归式，然后我们应该找到递归出口。
我们可以知道 F(n)=0 n=0 ,F(n)=1 n=1这就是递归出口，能让递归停止的条件。
递归算法的通用框架如下：

do(a,b,c...)
{
   
   
    //递归终止条件，即出口
    if(a==? ,b==? ,....) return

    //递归条件
    if(条件1)
        do(参数1)

    else(条件2)
        do(参数2)

}

如本题，各子式间存在计算关系，可以化为：

do(a)
{
   
   
    if(a==0) return 0;
    if(a==1) return 1;

    return do(a-1)+do(a-2);
}

这道题不是多次询问问题，不需要存储直接计算的复杂度是最低的。

答案解析

C++ 代码：

递推算法代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
   
   
    int n; //第几个数
    int x=0; //F(n)
    int y=1; //F(n+1)
    int ans; //F(n+2）

    cin>>n;

    if(n==0) ans=0;
    else if(n==1) ans=1;
    else {
   
   
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
   
   
            ans=x+y;
            x=y;
            y=ans;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;

}

递归算法代码


#include <iostream>
using namespace std;

int fn(int n)
{
   
   
    //递归出口1
    if(n==0)
        return 0;

    //递归出口2
    else if(n==1 )
        return 1