洛谷 P3368 树状数组(区间修改 单点查询)

本文介绍了一种基于树状数组实现的区间修改和单点查询算法,通过更新树状数组来快速处理区间内的数值修改,并能高效地进行单点查询。文章提供了完整的代码示例,包括树状数组的更新和求和操作,适用于处理大规模数据集的动态更新和查询任务。

就是区间修改和单点查询,这个题目可以用来检查自己写的对不对

#include <iostream>
#define lowbit(x) (x)&(-(x))
using namespace std;
int n;
int c[5000005];
int a[5000005];
void update(int x, const int & val) {
	while (x <= n) {
		c[x] += val;
		x += lowbit(x);
	}
}
int sum(int x) {
	int ans = 0;
	while (x > 0) {
		ans += c[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return ans;
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	int m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> a[i];
		update(i, a[i] - a[i - 1]);
	}
	int b, x, y, k;
	for (int i = 0; i < m; ++i) {
		cin >> b >> x;
		switch (b)
		{
		case 1:
			cin >> y >> k;
			update(x, k);
			update(y + 1, -k);
			break;
		case 2:
			cout << sum(x) << endl;
			break;
		default:
			break;
		}
	}
	return 0;
}

 

<think>首先,用户的问题是关于使用差分实现区间修改单点查询树状数组的方法。用户引用了几个参考内容,我需要基于这些引用和我的知识来回答。 关键点: - 用户想了解如何使用差分方法在树状数组中实现区间修改单点查询。 - 参考引用[1]提到差分法用于解决区间修改单点查询问题。 - 引用[2]提供了C++代码示例,展示树状数组+差分实现区间修改单点查询。 - 引用[3]也涉及树状数组区间修改区间查询。 我的回答需要: - 使用中文。 - 结构清晰,逐步解释。 - 遵守系统指令:行内数学表达式用$...$,独立公式用$$...$$。 - 自然地添加引用标识。 - 生成相关问题。 回答结构: 1. **介绍差分法**:解释什么是差分,为什么在树状数组中使用它。 2. **树状数组基础**:简要回顾树状数组的基本概念。 3. **差分实现区间修改**:描述如何用差分数组支持区间修改。 4. **单点查询**:解释如何从差分数组进行单点查询。 5. **代码示例**:提供一个简单的代码示例,基于引用[2]的代码。 6. **总结**:简要总结方法。 7. **生成相关问题**:基于主题生成相关问题。 确保LaTeX语法正确: - 例如,差分数组定义为$d_i = a_i - a_{i-1}$。 - 公式如区间修改的公式。 引用标识: - 在解释中自然地添加,如[^1]或[^2],基于参考内容。 最终输出: - 以用户可见层格式。 - 包括相关问题部分。 内容大纲: 1. **差分法简介**: - 差分是一种将序列转换为新序列的技术,其中$d_i = a_i - a_{i-1}$ for $i > 1$, and $d_1 = a_1$。 - 这允许区间修改通过修改差分数组的端点来实现。 2. **树状数组结合差分**: - 树状数组用于高效地维护差分数组,支持快速更新和查询。 - 区间修改:在位置$l$加$k$,在位置$r+1$减$k$。 - 单点查询查询位置$i$的值等价于查询差分数组的前缀和。 3. **算法步骤**: - 初始化:构建差分数组并存储在树状数组中。 - 区间修改:update(l, k); update(r+1, -k); - 单点查询:query(i) 返回$a_i$。 4. **代码示例**: - 使用类似引用[2]的C++代码,但简化或解释。 - 包括必要的函数:lowbit, modify, query。 5. **优点和注意事项**: - 时间复杂度:O(log n) 对于修改查询。 - 空间复杂度:O(n)。 6. **相关问题**: - 生成3-4个相关问题,如: - 如何扩展到区间查询? - 差分法的局限性是什么? - 与其他数据结构比较? 生成相关问题: 1. 如何用差分树状数组实现区间查询? 2. 差分法在树状数组中的应用有哪些限制? 3. 树状数组的差分方法与其他区间修改方法(如线段树)相比如何? 4. 在实际问题中,如何优化差分树状数组?</think>### 使用差分实现区间修改单点查询树状数组方法 树状数组(Binary Indexed Tree, BIT)是一种高效的数据结构,常用于处理动态序列的前缀和问题。当需要支持**区间修改**(如给区间$[l, r]$的所有元素加$k$)和**单点查询**(如查询位置$i$的值)时,结合差分法可以显著优化时间复杂度。以下是基于差分法的实现方法,逐步解释。 #### 1. **差分法基础** 差分是一种将原序列$a$转换为新序列$d$的技术,其中差分数组定义为: - $d_1 = a_1$ - $d_i = a_i - a_{i-1}$ for $i > 1$ 这样,原序列的区间修改单点查询可以转化为差分数组的操作: - **区间修改**:给$a$的区间$[l, r]$加$k$,等价于在$d$上执行$d_l \gets d_l + k$ 和 $d_{r+1} \gets d_{r+1} - k$(如果$r+1$在范围内)。 - **单点查询**:查询$a_i$的值,等价于计算差分数组的前缀和:$a_i = \sum_{j=1}^{i} d_j$。 差分法将区间修改的复杂度从$O(n)$降为$O(1)$,但单点查询需要$O(n)$。通过树状数组维护差分数组$d$,可以将查询修改都优化到$O(\log n)$[^1][^2]。 #### 2. **树状数组结合差分** 树状数组的核心是高效计算前缀和($\text{query}(i) = \sum_{j=1}^{i} d_j$)和单点更新($\text{modify}(i, \Delta)$)。以下是实现步骤: - **初始化**:构建差分数组$d$,并存储在树状数组中。 - **区间修改**:对区间$[l, r]$加$k$时,调用: - $\text{modify}(l, k)$ - $\text{modify}(r+1, -k)$(若$r+1 \leq n$) - **单点查询**:查询位置$i$的值时,调用$\text{query}(i)$,返回$a_i$。 树状数组的关键函数: - $\text{lowbit}(x) = x \& (-x)$:获取最低位的1。 - $\text{modify}(i, \Delta)$:更新树状数组(从$i$向上)。 - $\text{query}(i)$:计算前缀和(从$i$向下)。 #### 3. **代码实现(C++示例)** 以下代码基于引用[2]简化,实现区间修改单点查询。假设序列长度为$n$,操作数为$m$。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; // 最大序列长度 int tree[N]; // 树状数组(存储差分数组d) int n, m; // 序列长度和操作数 // 计算lowbit int lowbit(int x) { return x & -x; } // 更新树状数组:在位置i加delta void modify(int i, int delta) { while (i <= n) { tree[i] += delta; i += lowbit(i); } } // 查询前缀和:位置1到i的和(即a_i) int query(int i) { int res = 0; while (i > 0) { res += tree[i]; i -= lowbit(i); } return res; } int main() { cin >> n >> m; // 初始化:读取原数组a,构建差分数组d int prev = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { int a_i; cin >> a_i; modify(i, a_i - prev); // d_i = a_i - a_{i-1} prev = a_i; } // 处理操作 while (m--) { char op; cin >> op; if (op == 'Q') { // 单点查询 int i; cin >> i; cout << query(i) << '\n'; // a_i = query(i) } else if (op == 'C') { // 区间修改 int l, r, k; cin >> l >> r >> k; modify(l, k); // d_l += k if (r + 1 <= n) { modify(r + 1, -k); // d_{r+1} -= k } } } return 0; } ``` **代码说明**: - **初始化**:读入原数组$a$时,直接计算差分值$d_i = a_i - a_{i-1}$并存入树状数组。 - **区间修改**('C'操作):在$l$加$k$,在$r+1$减$k$,确保区间$[l, r]$内所有$a_i$增加$k$。 - **单点查询**('Q'操作):$\text{query}(i)$返回$a_i$,因为树状数组维护的是差分前缀和。 - **时间复杂度**:初始化为$O(n \log n)$,每次修改查询为$O(\log n)$[^2][^3]。 #### 4. **优点和注意事项** - **优点**: - 高效:区间修改单点查询均在$O(\log n)$完成。 - 空间开销小:仅需$O(n)$额外空间。 - 简单易实现:适合竞赛或实时系统。 - **注意事项**: - 差分法仅支持单点查询,不能直接支持区间查询(需额外处理,如结合前缀和)。 - 初始化时需正确处理边界($a_0 = 0$)。 - 在修改时检查$r+1$是否越界。 通过差分法,树状数组可以高效解决区间修改单点查询问题,特别适用于如P3368等需要优化的场景[^1][^2]。
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