[原创](计算机数学)(Introduction Linear Algebra)(P16): Triangle Inequality的第3边关系||v+w||与传统的||v-w||不一样

[作者]
常用网名: 猪头三
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专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析

[描述]
Find $cos\left(\theta \right)$ for $v$=(2,1) and $w$=(1,2) and check both inequalities.

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这里的关键在于"构造三角形的方式"不同. 传统的三角形的边关系是: 把两个向量都看作从原点 $O$ 出发的两条边, 这样第三边自然是连接这两条向量终点的向量, 比如

$$\overrightarrow{AB}=(2,1)-(1,2)=(1,-1).$$

但在 Strang 的书里, 他并不是把两条向量都从同一点(原点)出发, 而是采用"首尾相接"(head-to-tail)的方式来构造三角形. 具体地:

1. 向量定义:

   $$v=(1,2),w=(2,1).$$

2. [重要]首尾相接地作三角形:

   • 先从原点 $O=(0,0)$ 画出向量 $v=(1,2)$, 到达点 $A=(1,2)$.

   • 然后在点 $A$ 处再画出向量 $w=(2,1)$, 终点为 $B=A+w=(1,2)+(2,1)=(3,3)$.

   • 于是, 三角形的三个顶点就是 $O=(0,0)$, $A=(1,2)$, $B=(3,3)$.

     • 第一条边是从 $O$ 到 $A$, 这条边的向量正好是 $v=(1,2)$, 长度 $\Vert v\Vert =\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.
     • 第二条边是从 $A$ 到 $B$, 这条边的向量就是 $w=(2,1)$, 长度 $\Vert w\Vert =\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.
     • 第三条边是从 $B$ 回到原点 $O$, 它的向量可以写成 $\overrightarrow{BO}=(0,0)-(3,3)=(-3,-3)$, 长度是 $\Vert (-3,-3)\Vert =\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$.

   也可以把第三条边写成从 $O$ 指向 $B$ 的向量 $\overrightarrow{OB}=(3,3)$, 只是方向相反(长度相同). 因此, 在 Strang 那里, 他把这第三边记作

   $$v+w=(1,2)+(2,1)=(3,3),$$

   并用它来验证三角形不等式:

   $$\Vert v+w\Vert =\Vert (3,3)\Vert =\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}<\sqrt{5}+\sqrt{5}=\Vert v\Vert +\Vert w\Vert .$$

   这正是 “把 $v$ 和 $w$ 首尾相接” 时得到的第三边.

3. 为什么不是 $(\pm 1,\mp 1)$:

   • 向量 $(\pm 1,\mp 1)$ 出现在"同起点画两条向量, 再连终点" 的做法里: 如果你把 $v$ 和 $w$ 都从原点出发, 那么它们的终点分别是 $A=(1,2)$ 和 $B=(2,1)$, 此时连 $A$ 到 $B$ 的向量就是

     $$\overrightarrow{AB}=B-A=(2,1)-(1,2)=(1,-1).$$

     这是另一种构造三角形的方法, 但那跟 Strang 在讲"$\Vert v+w\Vert$ 满足三角形不等式" 的几何图示不同. Strang 想要说明的恰恰是: 如果你把向量 $v$ 从原点画出去, 然后在它的头(tip)再接着画向量 $w$, 那么从原点到最后那个头所成的向量就是 $v+w$. 所以此处第三条边就自然是 $(3,3)$.

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[总结]

• 当你把两个向量都 “同起点” 地画出时, 三角形的第三边是 “连两个终点” 的向量, 也就是 $(1,-1)$.

• 而 Strang 书中为了演示 $\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert w\Vert$, 采用的是 “首尾相接” 的画法, 此时三角形三条边分别是:

  1. 从 $O$ 到 $A$ 的向量 $v=(1,2)$,
  2. 从 $A$ 到 $B$ 的向量 $w=(2,1)$,
  3. 从 $O$ 到 $B$ 的向量 $v+w=(3,3)$.
     因此, 书中所说的"三角形的第三边"就是 $(3,3)$, 它的长度是 $\sqrt{18}$.