算法 - 股票买卖 // 一窝端

原创 于 2020-12-10 19:29:36 发布 · 142 阅读 · 0 ·
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#算法 #数据结构 #leetcode

这篇博客探讨了股票买卖的算法问题，从K=1到K=+infinity的实战，以及含冻结期和手续费的变形实战。核心是通过动态规划解决交易K次的模板，分析了买入、卖出和不操作的选择，并利用三维数组表示状态。

算法 - 股票买卖 // 一窝端

1、通用问题的描述

//188. 买卖股票的最佳时机 IV
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

//示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

//示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
  • 上述问题的变化就是，可以买卖K次可以变为1次、2次就相当于k=1\k=2，可以买卖无数次k= +infinity
  • 再变种就是加入冻结期、交易费等，都能嵌套进交易k次的问题——————需要总结交易K次的模板

2、问题解析

  • 根据以往的经验，本题应该用和动态规划有关的思想来解答，动态规划的两个要点就是状态和选择

  • 本问题的选择有三种：买入、卖出、不操作。我们用buy、sell、rest来表示这三种选择

    三种选择是有条件的，sell必须在buy之后，buy必须在sell之后，rest也有两种情况：buy之后rest/持股、sell之后rest/观望。

  • 本问题的状态有三种：一个是天数、第二个是允许的最大交易次数、第三个是当前的持有状态。用三维数组来表示。

  • dp[i] [k] [0/1]  (0<= i <= n-1) (1 <= k <= K)  (i = 0 / 1)
//进行穷举
for(int i = 0;i < n;i++){
    for(int k = 1;k <= K;k++){
        for(int i = 0;i <= 1;i++){
            //dp[i][k][s]表示在第i天手里有没有股票现在还能做多少交易
            //dp[2][3][0]:今天是第⼆天，现在⼿上没有持有股票，⾄今最多进⾏3次交易
            dp[i][k][s] = max{状态选择方程}
        }
    }
}
return dp[n - 1][K][0];

    //如果我今天没有持有股票，有两种可能：一种是昨天就没持有今天休息，第二种是昨天持有今天卖出
dp[i][k][0]	= max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1] + prices[i])	
//如果我今天持有股票，也有两种可能：一种是昨天持有今天休息，第二种是昨天没有今天买入
dp[i][k][1]	= max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]	- prices[i])

    //初始状态
dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0
dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity

3、第一次实战-K=1

//leetcode121.买卖股票的最佳时机-简单
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
注意：你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

//开始套用公式
dp[i][k][0] = max(dp[i - 1][k][0],dp[i - 1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i - 1][k][1].dp[i - 1][k - 1][0] - prices[i])
//只买卖一次的情况下 k = 1
dp[i][1][0]=max(dp[i-1][1][0],dp[i-1][1][1]+prices[i])
dp[i][1][1]=max(dp[i-1][1][1],dp[i-1][0][0]-prices[i])
//考虑初始化状态  dp[i-1][0][0]==0，剩余的dp[][1][]中间的1也可以全部省略
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[0])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],-prices[0]) 
return dp[n-1][0]

//用上述公式进行实现
    public int maxProfit1(int[] prices){
        if(prices == null || prices.length < 2) return 0;
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for(int i = 1;i < n;i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],-prices[i]);
        }
        return dp[n - 1][0];
    }

//观察上述动态规划表达式，发现当前的状态只和上一次的状态有关，那么数组可以化简
    public int maxProfit(int[] prices){
        if(prices == null || prices.length < 2) return 0;
        int dpi0 = 0,dpi1 = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0;i < prices.length;i++){
            dpi0 = Math.max(dpi0,dpi1 + prices[i]);
            dpi1 = Math.max(dpi1,-prices[i]);
        }
        return dpi0;
    }

4、第二次实战-K= +infinity

//leetcode122.买卖股票的最佳时机II
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
 
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。


//dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1] + prices[i])
//dp[i][k][1]=  max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
//k是正无穷） =  max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k][0] - prices[i])
//则dp的中间都是k可以省略，省略后的dp公式是
// dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1] + prices[i])
// dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0] - prices[i])
//只跟上一次的状态有关，进一步化简代码
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices == null || prices.length < 2) return 0;
        int dpi0 = 0,dpi1 = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0;i < prices.length;i++){
            int temp = dpi0;
            dpi0 = Math.max(dpi0,dpi1 + prices[i]);
            dpi1 = Math.max(dpi1,temp- prices[i]);
        }
        return dpi0;
    }
}

根据题目特点，使用贪心
/*[7, 1, 5, 6] 第二天买入，第四天卖出，收益最大（6-1），所以一般人可能会想，怎么判断不是第三天就卖出了呢? 这里就把问题复杂化了，根据题目的意思，当天卖出以后，当天还可以买入，所以其实可以第三天卖出，第三天买入，第四天又卖出（（5-1）+ （6-5） === 6 - 1）。所以算法可以直接简化为只要今天比昨天大，就卖出。*/
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //今天比昨天大就卖出
        int count = 0;
        for(int i = 1;i < prices.length;i++){
            if(prices[i] > prices[i - 1])
                count += (prices[i] - prices[i - 1]);
        }
        return count;
    }

5、第三次实战-k=2

//leetcode123 买卖股票的最佳时机III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k - 1][0] - prices[i])
    
for(int i = 0;i < n;i++){
    for(int k = 2;k > 0;k--){
         dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1] + prices[i])
		dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k - 1][0] - prices[i])
    }
}
//可以直接把四种状态都写出来
dp[i][2][0]	=	max(dp[i-1][2][0],	dp[i-1][2][1]	+	prices[i]) 
dp[i][2][1]	=	max(dp[i-1][2][1],	dp[i-1][1][0]	-	prices[i]) 
dp[i][1][0]	=	max(dp[i-1][1][0],	dp[i-1][1][1]	+	prices[i]) 
dp[i][1][1]	=	max(dp[i-1][1][1],	0 - prices[i])
//发现涉及到四个状态之间的更新，可以简化dp表
dpi20 = max(dpi20,dpi21 + prices[i]);
dpi21 = max(dpi21,dpi11 - prices[i]);
dpi10 = max(dpi10,dpi11 + prices[i]);
dpi11 = max(dpi10, -prices[i]);

//代码实现
 public int maxProfit(int[] prices){
     int dpi10 = 0,dpi11 = Integer.MIN_VALUE;
     int dpi20 = 0,dpi21 = Integer.MIN_VALUE;
     for(int i = 0;i < prices.length;i++){
         dpi20 = Math.max(dpi20,dpi21 + prices[i]);
		dpi21 = Math.max(dpi21,dpi11 - prices[i]);
		dpi10 = Math.max(dpi10,dpi11 + prices[i]);
		dpi11 = Math.max(dpi10, -prices[i]);
     }
     return dpi20;
 }

6、第四次实战-终极模板题-k=any num

//188. 买卖股票的最佳时机 IV
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

//示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

//dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1] + prices[i])
//dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if(prices == null || prices.length < 2 || k == 0) return 0;
        int n = prices.length;
        if(k > n / 2) return maxProfit(prices);//相当于不限制交易次数
        int[][][] dp = new int[n][k + 1][2];
        for(int i = 0;i < n;i++){
            for(int j = k;j > 0;j--){
                if(i == 0){//特殊情况处理
                    dp[i][j][0] = 0;
                    dp[i][j][1] = -prices[0];
                    continue;
                }
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j][1] + prices[i]);
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j-1][0] - prices[i]);
                
            }
        }
        return dp[n-1][k][0];
    }

     public int maxProfit(int[] prices) {
        int dpi10 = 0,dpi11 = Integer.MIN_VALUE;
        int dpi20 = 0,dpi21 = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0;i < prices.length;i++){
            dpi20 = Math.max(dpi20,dpi21 + prices[i]);
		    dpi21 = Math.max(dpi21,dpi10 - prices[i]);
		    dpi10 = Math.max(dpi10,dpi11 + prices[i]);
		    dpi11 = Math.max(dpi11, -prices[i]);
        }
     return dpi20;
    }
}

7、变形实战1-含冻结期

//leetcode309.最佳买卖股票时机含冻结期
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:
输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

加入一个冻结期，直接在模板里边修改，k是无穷大

//dp[i][0] = max(dp[i - 1][0],dp[i - 1][1] + prices[i]);
//dp[i][1] = max(dp[i - 1][1],dp[i - 2] - prices[i]);卖出后即冷冻期为 1 天
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int dpi0 = 0,dpi1 = Integer.MIN_VALUE;
        int dpi2 = 0;
        for(int i = 0;i < prices.length;i++){
            int temp = dpi0;
            dpi0 = Math.max(dpi0,dpi1 + prices[i]);
            dpi1 = Math.max(dpi1,dpi2 - prices[i]);
            dpi2 = temp;
        }
        return dpi0;
    }
}

8、变形实战2-含手续费

//leetcode714最佳买卖股票时机含手续费
给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:
输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

class Solution {
    //dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0],dp[i - 1][1] + prices[i] - fee)
    //dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1],dp[i - 1][0] - prices[i] - fee)
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int dpi0 = 0,dpi1 = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0; i < prices.length;i++){
            int temp = dpi0;
            dpi0 =  Math.max(dpi0,dpi1 + prices[i]);
            dpi1 =  Math.max(dpi1,temp - prices[i] - fee);
        }
        return dpi0 > 0 ? dpi0 : 0;
    }
}

注意：将数组进行简化的时候，要用临时变量保存状态

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