算法-Unique Paths-不同路径

算法-Unique Paths

不同路径

1、题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

2、题目分析

• 经典的动态规划模板题，简单难度
• dp[i] [j]表示从(0,0)位置走到(i,j)位置的路径数量
• 初始状态是第一列和第一行，因为机器人只会向下和向右走，所以只有一种情况
• 动态规划方程 dp[i] [j] = dp[i - 1] [j] + dp[i] [j - 1] 从上边过来或者从左边过来两种情况

3、代码实现

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        //动态规划
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0;i < m;i++){
            for(int j = 0;j < n;j++){
                if(i == 0 || j == 0) dp[i][j] = 1;
                else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}
//执行用时击败100% 内存消耗击败83%

4、扩展解法

• 使用公式解决，我们要想到达终点，需要往下走n-1步，往右走m-1步，总共需要走n+m-2步。他无论往右走还是往下走他的总的步数是不会变的。也就相当于总共要走n+m-2步，往右走m-1步总共有多少种走法，很明显这就是一个排列组合问题，公式如下

  

• public int uniquePaths(int m, int n) {
      int N = n + m - 2;
      double res = 1;
      for (int i = 1; i < m; i++)
          res = res * (N - (m - 1) + i) / i;
      return (int) res;
  }
  

5、复杂度分析

• 动态规划：时间复杂度：O(mn) 、 空间复杂度：O(mn)
• 数学解法：时间复杂度：O(m) 、 空间复杂度：O(1)