牛客小白月赛16 I.石头剪刀布(期望dp or 高斯消元)

最新推荐文章于 2024-09-10 19:26:26 发布

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#期望dp #高斯消元

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本文介绍了一个关于石头剪刀布游戏的数学问题，玩家根据不同的胜负概率，在一系列格子中前进并最终到达终点。文章通过动态规划的方法求解了玩家到达终点所需的平均游戏次数，并提供了一种高效的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/949/I
来源：牛客网

小阳和小石玩石头剪刀布的游戏，他们在地上画了 n(n<=100) 个长度为 1 的格子。

小阳一开始在 1 号格子，如果小阳赢了，那么他就能往前走 1 格（若在 n 号格子，则不往前走）。

如果输了，就倒退 1 格（若在 1 号格子，则不往后走），平局原地不动。

小阳已经知道了他石头剪刀布赢的概率是 a，平的概率是 b，显然输的概率是 1−a−b。

求小阳走到 n 号格子期望进行多少局石头剪刀布。

答案对 1e9+7 取模。

a、b<1e9+7，已经对1e9+7取过模。

思路来源

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=40831772

题解

可以用dp[i]代表从i走到n需要几步，

dp[i]=(胜率*dp[max(i+1,n)]+平率*dp[i]+负率*dp[min(i-1,1)])+1，dp[n]=0，高斯消元O(n*n*n)

据说，也可以联立dp[i]，dp[i-1]，dp[i-2]求dp[i]+dp[i-1]+dp[i-2]推系数

但也可以用如下方式，

dp[i]表示从i跳到i+1期望次数，胜率a，不妨记负率b，平率1-a-b

a[i]=a+b*(a[i-1]+a[i]+1)+(1-a-b)*(a[i]+1)

a[i]就是从从i跳到i+1的期望次数，

①a是一次成功

②b后退到i-1所以要从i-1到i，再从i到i+1，加上这一次1，

③最后1-a-b代表不动，从i到i+1，多加这一次

④a[1]不退，所以只有一步*a+(多一步)*1-a

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=105;
ll modpow(ll x,ll n,ll mod)
{
    ll res=1;
    for(;n;n/=2,x=x*x%mod)
        if(n&1)res=res*x%mod;
    return res;
}
ll dp[N],ans;
int n,a,b;
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
    dp[1]=modpow(a,mod-2,mod);
    ans+=dp[1];
    b=((1-a-b)%mod+mod)%mod;
    for(int i=2;i<n;++i)
    {
        dp[i]=(1+1ll*b*dp[i-1]%mod)*dp[1]%mod;
        (ans+=dp[i])%=mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}