AtCoder Beginner Contest 133 F.Colorful Tree(欧拉序+线段树)

最新推荐文章于 2024-09-23 03:49:01 发布

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#欧拉序 #lca #线段树

lca/dfs序/欧拉序/树链剖分专栏收录该内容

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本文介绍了一种处理大规模树形结构数据的高效算法，针对树的边进行颜色标记和长度赋值，通过离线处理和树状数组优化，实现快速响应大量边权重修改及路径距离查询。该算法利用欧拉序、RMQ和BIT技术，有效解决了LCA问题，适用于竞赛编程和复杂图论场景。

题目

n(n<=1e5)个点的树，第i条边有u,v,c,d，u和v为边的两端，c为色号，d为边长

q(q<=1e5)个询问，第j次询问x,y,u,v，即把色号为x的所有边权都改成y之后，询问u到v的距离

思路来源

https://atcoder.jp/contests/abc133/submissions/6298312

题解

离线，把所有颜色为i的树边加到col[i]里，把所有颜色为j的询问加到color[j]里，

预处理点欧拉序，边欧拉序，用RMQ来解决LCA，sum[]维护当前点到根的链和

处理颜色i的询问时，ans=两条链之和-两条链上原颜色i树边之和+两条链上颜色i的边的个数*新改的值

做法，先把i的树边的条数插到bit1上，边权插到树状数组bit2上，

bit1中统计两条链上颜色i的边的个数，乘上新改的值v，从答案中减去

bit2中统计一下两条链上原颜色i树边之和，加到答案中

统计完之后，在BIT里把刚插入的颜色对应的边删掉，从而处理下一种颜色

本来在考虑，边是离散的，该如何解决，

现在了解到，边在欧拉序中也是对应一段区间的；像树剖一样，把边给远根节点，其欧拉序同远端节点

第i条边(连接u和v，且v是远根节点)，入的时间戳同ID[v]，出的时间戳同v出的时间戳

那么由于v出了之后，下一个出的就是u，这里不妨+1，变闭区间为开区间，i实际存在的为[in[i],out[i])

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=1e5+10; 
const int lg=18;
int n,q;
int a,b,c,d,y,U,V,fa,ID;
int tmp,num,len1,len2;
int pos[N],ans[N],sum[N];//欧拉序中对应编号 答案 链上的和 
int bit1[N*2],bit2[N*2];//树按颜色建一棵 按查询建一棵 
int dep[N],dis[N];//点的深度 实际边边权
int head[N],v[N*2],nex[N*2],id[N*2],cnt;
int in[N],out[N];
int dfn[N*2],tot;
int dp[N*2][lg];
//欧拉序 dfn点戳 in out边戳 第i条边[in,out)
struct query{int id,y,u,v;};
vector<int>col[N];//把树边放入对应颜色 
vector<query>color[N];//把询问放入对应颜色 
int mn(int u,int v){if(dep[u]<dep[v])return u;else return v;};
void link(int x,int y,int i){v[++cnt]=y;nex[cnt]=head[x];id[cnt]=i;head[x]=cnt;}
void add(int *tr,int x,int v){for(int i=x;i<=tot;i+=i&-i)tr[i]+=v;}
int ask(int *tr,int x){int ans=0;for(int i=x;i>0;i-=i&-i)ans+=tr[i];return ans;}
void dfs(int u,int fa,int d)
{
	dfn[++tot]=u;
	pos[u]=tot;
	dep[u]=d;
	for(int i=head[u];i;i=nex[i])
	{
		int to=v[i],num=id[i],w=dis[num];//边的真实编号 
		if(to==fa)continue;
		in[num]=tot+1;//归远端节点 即下一个搜的节点 
		sum[to]=sum[u]+w;
		dfs(to,u,d+1);
		dfn[++tot]=u;
		out[num]=tot;
	}
}
void init(int up)
{
	for(int i=1;i<=up;++i)
	dp[i][0]=dfn[i];
	for(int len=1;(1<<len)<=up;++len)
	for(int i=1;i+(1<<len)-1<=up;++i)
	dp[i][len]=mn(dp[i][len-1],dp[i+(1<<(len-1))][len-1]);
} 
int lca(int u,int v)
{
	int l=pos[u],r=pos[v];
	if(l==r)return dp[l][0]; 
	if(l>r)swap(l,r);
	int k=log(r-l+1)/log(2);
	return mn(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
		link(a,b,i);link(b,a,i);
		col[c].pb(i);dis[i]=d;
	}
	dfs(1,-1,0); 
	init(tot);
	for(int i=1;i<=q;++i)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
		color[a].pb(query{i,b,c,d});
	}
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		if(!color[i].size())continue;//没有询问 
		len1=col[i].size();
		for(int j=0;j<len1;++j)
		{
			num=col[i][j];
			add(bit1,in[num],1);
			add(bit1,out[num],-1);
			add(bit2,in[num],dis[num]);
			add(bit2,out[num],-dis[num]);
		}
		len2=color[i].size();
		for(int j=0;j<len2;++j)
		{
			ID=color[i][j].id;y=color[i][j].y;
			U=color[i][j].u;V=color[i][j].v;
			fa=lca(U,V);
			tmp=sum[U]+sum[V]-2*sum[fa];
			tmp-=(ask(bit2,pos[U])+ask(bit2,pos[V])-2*ask(bit2,pos[fa]));
			tmp+=y*(ask(bit1,pos[U])+ask(bit1,pos[V])-2*ask(bit1,pos[fa]));
			ans[ID]=tmp;
		}
		for(int j=0;j<len1;++j)
		{
			num=col[i][j];
			add(bit1,in[num],-1);
			add(bit1,out[num],1);
			add(bit2,in[num],-dis[num]);
			add(bit2,out[num],dis[num]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=q;++i)
	printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}