Helvetic Coding Contest 2019 online mirror A2. Heidi Learns Hashing (Medium)(思维题/2-sat)

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#异或 #数论 #循环节 #2-sat

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本文探讨了一种算法，用于解决给定二进制串y时，寻找不同k值使得长度为n的字符串x循环右移k位后的z与x异或等于y的问题。通过分析循环节特性，利用gcd优化处理，实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

给一个长度为n(n<=2e5)的二进制串y，

如果存在一个x，记x循环右移k位之后的值为z，

且x异或z的值等于y，则称右移k位是合法的，

统计有多少个不同的k是合法的(0<=k<=n-1)

题解

虽然看似2-sat(多个真值指派问是否成立)问题，但实际并非那么做

考虑y=1010，对于长度为4的x==abcd，循环右移一位为dabc，则abcd异或dabc==1010，

如果abcd有解，则设a为1，a异或d等于1解d，d异或c等于0去解c，c异或b等于1解b，

最后去判断b异或1(设的a的值)是否为0

如果为0就有解，为1就无解，然后发现设a为0也是这个过程，那么就在左式构造两个a让其异或掉

也就是把刚才的那些abcd式子都列到左边，与1010相关都列到右边，即去检查1010是否异或和为0

注意到，pos是有循环节的，所有pos,pos+k,pos+2*k,...,(pos+p*k)%n这些数构成一个循环节

然后注意到pos每次步长为k，走lcm(n,k)会回到原处，那就是走了n/gcd(n,k)步，

由于这n/gcd(n,k)步中没有经历重复点，可以等价认为步长为gcd(n,k)，走n/gcd(n,k)步回到原处

那么，所有gcd(n,k)==i的相同的i，可以一起处理，

预处理gcd(n,k)==i的个数cnt[i]，对于i去检查循环节内异或是否为0即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,ans,now,cnt[N];
char s[N];
bool ok(int x)
{
	for(int i=0;i<x;i++)
	{
		now=0;
		for(int j=i;j<n;j+=x)
		now^=(s[j]=='1');
		if(now)return 0;
	}
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s",s);
	for(int i=0;i<n;++i)
	cnt[__gcd(i,n)]++;//iѭ���ڵ���СstepΪgcd(i,n) 
	for(int i=1;i<=n;++i)
	if(cnt[i])ans+=cnt[i]*ok(i); 
	printf("%d\n",ans);
    return 0;
}