牛客练习赛41 D.最小相似度(bfs/fwt)

题目

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/373/D

定义两个位数相等的二进制串 A,B 的相似度 SIM(A,B)= 二进制串A⊕B中0的个数

如 A=00010,B=01000,A⊕B=01010,所以 SIM(A,B)=3。

给定 N 个长度为 M 的二进制串S1,S2...SN。

现在的问题是找出一个额外的长度为 M 的二进制字符串 T ，

使得 max{SIM(S1,T),SIM(S2,T)...SIM(SN,T)} 最小。

因为满足条件的 T 可能不止一个,不需要输出串 T ,只需要输出这个最小值即可。

1<=N<=3e5，1<=M<=20

思路来源

https://www.cnblogs.com/butterflydew/p/10459737.html

https://www.cnblogs.com/LMCC1108/p/10470798.html

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=40383289

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=40376747

题解

解法1：

多源bfs，一共只有(1<<20)状态，每次只去更新到这个点的最短距离，

那么，我们记录的实际是二进制中A⊕B中1的个数的最小值，

不妨S1和V有3个1，S2和V有5个1，S3和V有7个1，m=20，dis[V]=3

那么S1和V有17个0，S2和V有15个0，S3和V有13个0，m-dis[V]=17

这个1的个数的最小值，被m减去之后，就是0的个数的最大值，

现在令0的个数的最大值这个数最小，也就是令17最小，那么令3最大即可

也就是寻找最大的dis[V]，答案ans=m-dis[V]

 

想明白1和0的关系带来的min和max的转换之后，

寻找max的最小，就是寻找min的最大

正着做不好做，可以向对立做，思维的转化还是很重要呐……

 

解法2：

利用异或的性质A=B^C的情况下，C=A^B

A数组读入n个数，将读入的数的对应位置赋1，

如果最后的答案次数是x，数是T的话，

那么A内的所有数卷T所得的数，都会落在二进制位为0的个数<=x的数里面

我们只需二分次数x，B数组=[该数的二进制位为0的个数<=x]，对应位置赋1

如果A卷B所得的新数组，在某一位置的值为n的话，说明该过程可逆

注意到，A数组的一个数只能对一个答案位置产生1的贡献，所以B数组元素虽然比逆过程多了，但是不影响

相当于，把A数组的每个数看成一个人，相当于第i个人取B区间上的一些点涂颜色i，然后问是否存在点有n种颜色

 

开始用int+取模，TLE

int不取模存在n==3e5的数据，a[i]*b[i]可能会爆，WA

最后开了ll不取mod，AC

代码1（bfs）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
queue<int>q;
char s[25];
int dis[1<<20];
int n,m,v;
int tmp,nex,mx;
int to(char s[],int len)
{
    int ans=0;
    for(int i=0;i<len;++i)
    ans=ans*2+(s[i]-'0');
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<(1<<m);++i)
        dis[i]=INF;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        scanf("%s",s);
        v=to(s,m);
        dis[v]=0;
        q.push(v);
    }
    while(!q.empty())
    {  
        tmp=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<m;++i)
        {
            nex=tmp^(1<<i);
            if(dis[nex]>dis[tmp]+1)
            {
                dis[nex]=dis[tmp]+1;
                q.push(nex);
            }
        }
    }
     
    for(int i=0;i<(1<<m);++i)
    mx=max(mx,dis[i]);
    printf("%d\n",m-mx);
    return 0;
}

代码2（fwt）

//inv2是MOD意义下2的逆元,inv2=(MOD+1)/2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1<<20;
char s[25];
int n,m,N;
int l,r,v;
ll a[MAXN],b[MAXN];
int bit[MAXN];//dp统计每个值有多少位为1 
void FWT_xor(ll *a,int opt)
{
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                ll X=a[j+k],Y=a[i+j+k];
                a[j+k]=X+Y;a[i+j+k]=X-Y;
                if(opt==-1)a[j+k]=a[j+k]/2,a[i+j+k]=a[i+j+k]/2;
            }
}
bool ok(int x) 
{
	for(int i=0;i<N;++i)
	b[i]=((m-bit[i])<=x);//二进制中0的个数<=x 
	FWT_xor(b,1);
	for(int i=0;i<N;++i)
    b[i]=a[i]*b[i];
	FWT_xor(b,-1);
	for(int i=0;i<N;++i)
	if(b[i]==n)return 1;
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	N=1<<m; 
	for(int i=0;i<N;++i)//dp统计位数 
	bit[i]=bit[i>>1]+(i&1); 
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		scanf("%s",s);
		v=0;
		for(int j=0;j<m;++j)
		v=v*2+(s[j]-'0');
		a[v]++;
	}
	FWT_xor(a,1);
	l=0,r=m;
	while(l<r)
	{
		int mid=(l+r)/2;
		if(ok(mid))r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d\n",l);
	return 0; 
}