Benelux Algorithm Programming Contest 2014 Final.Interesting Integers(数论/扩展欧几里得)

最新推荐文章于 2019-04-13 21:27:48 发布

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#数论 #扩展欧几里得

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本文探讨了一种数列求解问题，通过解析数列规律与斐波那契数列的联系，引入扩展欧几里得算法解决特定条件下的数列求解。文章详细解释了算法实现过程，包括如何利用扩展欧几里得算法找到满足条件的最小值，并通过代码示例展示了完整的解决方案。

题目

自己确定G1和G2，

G3=G1+G2，G4=G2+G3，

G[i]=G[i-1]+G[i-2]，

对于给定n，如果n出现在这个数列中

求最小的G2，使得G1<=G2

输出G1和G2

思路来源

https://blog.youkuaiyun.com/Originum/article/details/81393168

题解

G1=a+0b，G2=0a+b，G3=a+b，G4=a+2b，G5=2a+3b

注意到它们的系数是在F数列中1 0 1 1 2 3 5 8出现的

Gi的a的系数是F[i-1]，b的系数F[i]，

而F序列后面是斐波那契数列

所以就递增扫F序列，判断F[i]x+F[i+1]y==n能否成立

先扩展欧几里得，由于令a<=b且b最小，

所以就是求x<=y的最小y，注意到y减小则x增大，

故y与x最接近，即下一步y减小x会反超

求出一组特解x,y后，令x和y最接近且x<=y的步骤如下

由于C++int除以int是近零取整，-2.5取整会被搞成-2，但是-3才符合条件

所以，如果这个值小于0且不能被整除，k--

然后x+=k*b/d，y-=k*a/d就是答案

心得

~~感觉思维题做的还是不够多，不知变通~~

这题根本看不出来是扩展欧几里得啊

还有算是知道了extgcd的一些小应用叭

代码

#include <iostream> 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=46;
int t,f[maxn]={1,0};//系数矩阵
ll c;
ll a,b,x,y,ansx,ansy; 
ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	ll d=a;
	if(b)d=extgcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;
	else x=1,y=0;
	return d;
}
int main()
{
	for(int i=2;i<maxn;++i)
	f[i]=f[i-1]+f[i-2];
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
	 scanf("%lld",&c);
	 ansx=ansy=1e18;
	 for(int i=0;i<maxn-1;++i)
	 {
	  a=f[i];b=f[i+1];
	  //printf("%lld %lld\n",a,b);
	  ll d=extgcd(a,b,x,y);
	  if(c%d)continue;
	  x*=(c/d);y*=(c/d);
	  a/=d;b/=d;
	  ll k=(y-x)/(a+b);
	  if(x>y&&(y-x)%(a+b))k--;//近零取整,负的得-1
	  x+=k*b,y-=k*a;
	  if(x>0&&y>0&&y<ansy)
	  ansx=x,ansy=y;
     }
	 printf("%lld %lld\n",ansx,ansy);
    }
	return 0;
}