2023-2024 ICPC East North America Regional Contest (ECNA 2023) B. B Road Band(线性dp 决策单调性分治优化)

最小化点到平行轴线上k点距离平方和的dp优化

最新推荐文章于 2025-02-14 20:44:32 发布

原创

最新推荐文章于 2025-02-14 20:44:32 发布 · 988 阅读

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#dp #决策单调性

文章讲述了如何使用动态规划(DP)解决一个与轴对齐的点集合问题，目标是在两条平行轴线上选择k个点，使得所有点到这些点的距离平方和最小。通过单调性优化和决策点的选择，降低了计算复杂度。

题目

给定两条平行轴上的点，两条轴的距离是s(s<=50)

第一条轴上给定m(m<=1000)个点，第二条轴上给定n(n<=1000)个点，点坐标x(0<=x<=1000)

在距两条轴距离相等且平行的线上，标记k(k<=100)个位置点，

使得n+m个点，点i对k个位置中距离最近的点算距离，记为xi

要求 $\sum_{i=1}^{n+m}x_{i}^2$ 最小，并输出这个值，误差不超过1e-5

思路来源

gym AC代码

【学习笔记】各类基于决策单调性的dp优化_决策单调性优化dp_sophilex的博客-优快云博客

题解

首先，由于轴两侧是等距的，可以把轴上的点合到其中一侧并排序，

d即线上修建k个点，轴上n+m个点，到线的距离为s/2，每个点到最近点的距离平方的和最小

那么每个修建的点对应的肯定是一段连续的区间，枚举最后一个修建点对应了哪一段朴素dp即可

为了确定修建点的位置，

考虑 $(a_{i},\frac{s}{2})$ 到 $(x,0)$ 的距离的平方，为 $(a_{i}-x)^2+(\frac{s}{2})^2$

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