CodeTON Round 6 (Div. 1 + Div. 2, Rated, Prizes!) E. Another MEX Problem(区间dp mex性质)

原创已于 2023-09-24 22:35:46 修改 · 191 阅读

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#区间dp

于 2023-09-24 21:48:02 首次发布

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本文介绍了一种算法，针对给定的序列选择不相交子数组，计算每个子数组的MEX值并异或，目标是找到使得异或结果最大的ans。通过分析MEX在不同区间的变化规律，发现大部分情况都是线性的，从而设计出线性时间复杂度的解决方案。

题目

给出一个n(n<=5e3)的序列，第i个数ai(0<=ai<=n)

你可以在序列里选出若干个不相交的子数组，

对每个子数组求MEX，再将得到的若干个MEX值异或起来，得到ans

现在想让ans最大，输出最大的ans

实际t(t<=5e3)组样例，保证sumn不超过5e3

思路来源

luanmenglei代码

题解

一个n*n的区间，mex总共只会增大n次，找到这个性质之后就是暴力了

数不是连续的mex区间数<=数是连续的mex区间数

<=数是顺序或逆序的mex区间数<=数是两段接在一起的mex区间数

最后一种情况是形如0 1 0或者1 0 1的区间，而这种情况也是线性的，所以都是线性的

mex[i][j]表示[i,j]的mex值，

pos[i][j]表示只考虑<=i的值时，异或出j这个值时，最小的右端点的位置，

可以通过增序遍历把第一维滚掉

只有mex[l][r]不等于mex[l][r-1]，且mex[l][r]不等于mex[l+1][r]时，才需要转移

代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair<ll,int> P;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define dbg(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<" ";
#define dbg2(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<endl;
#define SZ(a) (int)(a.size())
#define sci(a) scanf("%d",&(a))
#define pt(a) printf("%d",a);
#define pte(a) printf("%d\n",a)
#define ptlle(a) printf("%lld\n",a)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
typedef unsigned ui;
//typedef __uint128_t L;
const int N=5e3+10;
int t,n,a[N],mex[N][N],pos[N];
bool vis[N];
int main(){
	sci(t);
	while(t--){
		sci(n);
        rep(i,1,n){
            sci(a[i]);
            pos[i]=n+1;
        }
        rep(i,1,n){
            rep(j,0,n)vis[j]=0;
            int now=0;
            rep(j,i,n){
                vis[a[j]]=1;
                while(vis[now])now++;
                mex[i][j]=now;
            }
        }
        rep(r,1,n){
            rep(l,1,r){
                if(mex[l][r] && mex[l][r]!=mex[l+1][r] && mex[l][r]!=mex[l][r-1]){
                    rep(k,0,n){
                        if(pos[k]<l){
                            pos[k^mex[l][r]]=min(pos[k^mex[l][r]],r);
                        }
                    }
                }
            }
        }
        per(i,n,0){
            if(pos[i]<=n){
                printf("%d\n",i);
                break;
            }
        }
	}
	return 0;
}