NIKKEI Programming Contest 2019-2 C.Swaps(思维题/置换)-优快云博客

题目

长为n(2<=n<=1e5)的数组a和b(1<=ai,bi<=1e9)，

一次操作中，你可以选择两个不同位置，交换a数组内的这两个位置的数，

该操作最多允许执行n-2次，问执行完之后，

是否可以使得，对于任意i，都有ai<=bi成立，

可以输出Yes，否则输出No

思路来源

乱搞ac

题解

1. 特判n=2的情况，此时交换次数为0，由初始局面决定答案

2. 将a数组排增序，b数组排增序，如果此时还有位置不满足ai<=bi，则无法满足，输出No

3. 否则，n-2次交换能将a数组交换的近似有序，考虑什么情况交换不出来

比如，2 3 1经过1次交换是无法交换到1 2 3的，

本质上是因为，2 3 1在一个长为3的置换环里

一个长为x的环需要x-1步还原，如果初始局面恰有1个环则需要n-1步，无法还原

有>=2个环的时候则可以还原，即：只要不是1个环的情况，均可以还原

而且注意到，对于恰有一个环的情况来说，

在交换过程中，环上的每个元素都与相邻元素参与了交换

（1）存在a[i]=a[i+1]，由于值相等，可以省去这一次交换，使全局交换次数最多为n-2

（2）存在b[i]=b[i+1]，同理，只需要不交换与之相对应的aj、ak

（3）存在a[i-1]<=b[i]且a[i]<=b[i-1]，这也表明，(i-1,i)的交换可以省去

判掉这些特殊情况之后，

此时两个序列均无重复元素，且满足答案的序列的交换方式唯一，

只需判断是否需要n-1次交换，即是否所有元素恰在一个置换环内的情况即可

具体来说，对于a序列中最小值来说，记其位置为pos，

假设b序列中最小值原来的位置为i，则i需要被换到pos，

考虑次小值，以此类推……

形如b[i]=pos的序列，构成了b序列的置换序列，

只需判断这个序列是不是只有一个置换环即可，

是的话，则答案为No，否则为Yes

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,a[N],b[N],c[N],d[N],pos[N];
bool vis[N];
bool solve(){
    if(n==2){
        return a[1]<=b[1] && a[2]<=b[2];
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(a[i]>b[i])return 0;
    }
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(a[i]==a[i-1])return 1;
        if(b[i]==b[i-1])return 1;
        if(a[i-1]<=b[i] && a[i]<=b[i-1])return 1;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        c[i]=lower_bound(a+1,a+n+1,c[i])-a;
        pos[c[i]]=i;
        d[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,d[i])-b;
    }
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(vis[i])continue;
        cnt++;
        for(int j=i;!vis[j];j=pos[d[j]]){
            vis[j]=1;
        }
    }
    return cnt>1;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>a[i];c[i]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>b[i];d[i]=b[i];
    }
    cout<<(solve()?"Yes":"No")<<endl;
    return 0;
}