Codeforces Round #818 (Div. 2) E. Madoka and The Best University(gcd性质+莫比乌斯反演φ)

题目

给定n(3<=n<=1e5)，求∑lcm(c,gcd(a,b))，其中a+b+c=n，且a,b,c均为正整数，答案对1e9+7取模

思路来源

官方题解

题解

注意到gcd(a,b)=gcd(a,a+b)=gcd(a,n-c)，所求即∑lcm(c,gcd(a,n-c))

对于每个枚举的d=gcd(a,n-c)，d是n-c的因子

此时满足条件的对数为：

a+b=n-c且gcd(a,b)=d的(a,b)的对数

⇆gcd(a,n-c)=d的a的个数

⇆gcd(a,(n-c)/d)=1的a的个数

⇆phi[(n-c)/d]

答案即为∑lcm(c,d)∗phi[(n−c)/d]，其中1<=c<=n-2，d为n-c的因数

代码1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,mod=1e9+7;
int n,phi[N],ans;
int gcd(int x,int y){
	return !y?x:gcd(y,x%y);
}
int lcm(int x,int y){
	int g=gcd(x,y);
	return 1ll*(x/g)*y%mod;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		phi[i]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
			phi[j]-=phi[i];
		}
	}
	for(int g=1;g<=n;++g){
		for(int ab=g+g;ab<n;ab+=g){
			int c=n-ab;
			ans=(ans+1ll*lcm(c,g)*phi[ab/g]%mod)%mod;
		}
	}
	printf("%d\n",ans); 
	return 0;
}

代码2

自己没看题解之前乱搞ac的，

根据lcm(c,gcd(a,b))=c*gcd(a,b)/gcd(a,b,c)

设x=gcd(a,b,c),y=gcd(a,b)，x是n的因子枚举x，枚举c(c=k3*x，实际是枚举k3)，

根据y是x的倍数，y一定是n/x-k3的因子，且y和k3互质三个条件，枚举y，

令a=p1*y，b=p2*y，显然p1、p2互质，需要求：

p1+p2=K且gcd(p1,p2)=1的(p1,p2)的对数，p1>0，p2>0，K是某个已知常量

不难发现，1=gcd(p1,p2)=gcd(p1,p1+p2)=gcd(p1,K)，也就是phi(K)(K>=2)

赛中的时候没发现gcd这个等式，用mu硬搞了一下容斥，搞成了phi-e，也就是phi(K)-[K==1]

第一个做法是严格O(nlogn)的，这个做法应该会多一个log左右，但卡不满

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,mod=1e9+7;
bool ok[N];
int prime[N],mu[N],cnt,ans;
int n,m,num[N];
vector<int>fac[N];
int gcd(int x,int y){
	return !y?x:gcd(y,x%y);
}
void sieve(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<N;++i){
		if(!ok[i]){
			prime[cnt++]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=0;j<cnt;++j){
			if(1ll*i*prime[j]>=N)break;
			ok[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				break; 
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
int main(){
	sieve();
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=i;j<=n;j+=i){
			fac[j].push_back(i);
			num[j]=(num[j]+1ll*mu[i]*(j/i-1)%mod)%mod;
		}
	}
	m=fac[n].size();
	for(auto &x:fac[n]){
		int up=n/x;
		for(int k3=1;k3<up;++k3){
			int two=up-k3;
			for(auto &v:fac[two]){
				if(gcd(v,k3)>1)continue;
				int p1p2=two/v,y=x*v;
				ans=(ans+1ll*num[p1p2]*k3%mod*y%mod)%mod;
			}
			//printf("k3:%d x:%d y:%d p1p2:%d num:%d\n",k3,x,y,p1p2,num[p1p2]);
			//printf("c:%d gcd(a,b):%d gcd(a,b,c):%d\n",k3*x,y,x);                                                                                                                                         
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}