Codechef June Challenge 2021 Division 3 (Rated) G.Dual Distance(思维题-树/lca)

题目

t(t<=8)组样例，每次给出一棵n(n<=1e5)个点的树，q(q<=1e5)组询问，

每次给出一对(a,b)，询问

即对于n个点来说，每个点到点a和点b中两个点距离的较小值为该点的贡献，求贡献和

sumn<=5e5，sumq<=5e5

思路来源

乱搞AC

题解

考虑a和b之间的所有点d，记c是ab路径上的中点，

如果知道这些点d到a的距离和，如图，蓝色之和，

如果知道这些点d到b的距离和，如图，粉色之和，

如果知道这些点d到c的距离和，如图，绿色之和，

怎么求答案，如图，黄颜色之和，

特别地，补充点a以外的所有点x，补充点b以外的所有点y之后，这张图是这样的

而互相抵消彼此之间的贡献之后，这张图是这样的，

dp[i]维护所有点到i点的距离和，

dp[a]+dp[b]-dp[c]，即蓝+粉-绿之后，和答案相比，还多记了两部分，

一部分是c以右的点的个数*ac的距离，另一部分是c以左的点的个数*bc的距离

这表明，其实c不一定要是中点，选取ab路径上的一个点即可，

但是取中点会好处理

首先特判掉(a,b)中点不存在的情形，即a、b距离为1的情形，

然后，不妨记a、b更深的点为a，距离为dis(a,b)，

则a往上爬dis(a,b)/2爬到点c，要么还没到lca，要么恰为lca，

还没到lca的话，这个点c及c以左侧的点就是sz[c](代码中为sz[m])，另一侧为n-sz[m]

但是对于恰为lca的情形，sz[c]会同时包含a、b，一侧点的个数不太对，

但注意到这种情况下，应该是a、b到lca的距离均为dis(a,b)的情形，

另一侧点距离的贡献等于这一侧点的贡献，

相当于n个点每个点的贡献相等，恰好统一了这种情况，故不需要特判

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10,M=18;
int t,n,q,u,v,sz[N],par[N][M],dep[N];
vector<int>e[N]; 
ll dp[N];
void dfs(int u,int fa){
	dep[u]=dep[fa]+1;
	par[u][0]=fa;
	for(int i=1;i<M;++i){
		par[u][i]=par[par[u][i-1]][i-1];
	}
	sz[u]=1;
	for(int i=0;i<e[u].size();++i){
		int v=e[u][i];
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		sz[u]+=sz[v];
		dp[u]+=dp[v]+sz[v];
	}
}
void dfs2(int u,int fa){
	if(u!=1){
		dp[u]=(dp[fa]+n-2*sz[u]);
	}
	for(int i=0;i<e[u].size();++i){
		int v=e[u][i];
		if(v==fa)continue;
		dfs2(v,u);
	}
}
ll cal(int a,int b){
	if(dep[a]<dep[b]){
		swap(a,b);
	}
	int la=a,lb=b;
	int d=0,m=a;
	for(int i=M-1;i>=0;--i){
		if((dep[a]-dep[b])>>i&1){
			a=par[a][i];
			d+=(1<<i);
		}
	}
//	a==b 即lca(a,b)==b
	if(a!=b){
		for(int i=M-1;i>=0;--i){
			if(par[a][i]!=par[b][i]){
				a=par[a][i];
				b=par[b][i];
				d+=(1<<(i+1));
			}
		}
		a=par[a][0];b=par[b][0];
		d+=(1<<1);
	}
	if(d==1){
		return dp[la]-(n-sz[la]);
	}
	for(int i=M-1;i>=0;--i){
		if((d/2)>>i&1){
			m=par[m][i];
		}
	}
//	printf("m:%d\n",m);
	ll ans=dp[la]+dp[lb]-dp[m];
//	m是lca的情况 恰与d是偶数能平分的情况统一 故不需特判 
	ans-=1ll*sz[m]*(d-d/2);
	ans-=1ll*(n-sz[m])*(d/2);
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&q);
		for(int i=1;i<=n;++i){
			e[i].clear();
			dp[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<n;++i){
			scanf("%d%d",&u,&v);
			e[u].push_back(v);
			e[v].push_back(u);
		}
		dfs(1,0);
		dfs2(1,0);
//		for(int i=1;i<=n;++i){
//			printf("%d:%lld\n",i,dp[i]);
//		}
		while(q--){
			scanf("%d%d",&u,&v);
			printf("%lld\n",cal(u,v));
		}
	}
	return 0;
}