Codeforces Round #359 (Div. 2) D. Kay and Snowflake(树的重心)

题目

给你一棵n(n<=3e5)个点有根树，

q(q<=3e5)个询问，每次询问以qi为根的子树的重心是哪个点

思路来源

https://www.cnblogs.com/cutemush/p/11830897.html

https://blog.youkuaiyun.com/chenyume/article/details/102922149

题解

树的重心的性质：

①树的重心要么是本身，要么存在于直连儿子中节点个数最大的一个中

②树的重心的所有子树中（删去该节点）最大的一颗的节点个数一定小于等于所有节点数量和的一半。

③重心不下移，若求解出子树的重心，则整个树的重心一定在子树重心和根的连线上

④一颗树最多只有两个重心，并且这两个重心一定是相邻的

⑤树的重心到树上所有点的距离之和最小

先递归求出子树的重心，

如果对于u来说，不存在重儿子v满足sz[v]*2>sz[u]，说明u就是重心

否则，先设重心为v内的重心ans[v]，

如果以fa[ans[v]]为重心的最大子树比ans[v]的最大子树小，ans[v]变为其父亲，

其一个等价条件检查now为根时，上方的部分(即sz[u]-sz[now])是否大于整个树大小的一半，大于就继续上跳。

另一个等价条件是，如果父亲到树内其余点的距离和比当前点到其他点的距离和小，就继续上跳

重复这个过程，直到上跳时条件不满足，或已经跳到了u的位置

关于复杂度的证明，请教了一下tls，

每个重心从叶子往上跳，必然是因为在一条重链上，而重链互不相交，长度和是n，所以是O(n)

感觉自己还是对重链理解不深刻啊……

 

代码1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e5+10;
int n,q,u,par,fa[N],ans[N],sz[N],f[N];//�ض��ӵĴ�С
vector<int>e[N];
void dfs(int u){
    ans[u]=u;sz[u]=1;
    int mx=0,pos=-1;
    for(int v:e[u]){
        fa[v]=u;
        dfs(v);
        sz[u]+=sz[v];
        if(sz[v]>mx){
            mx=sz[v];
            pos=v;
        }
    }
    f[u]=mx;
    if(f[u]*2>sz[u]){
        int now=ans[pos];
        while(now!=u && max(sz[u]-sz[now],f[now])>max(sz[u]-sz[fa[now]],f[fa[now]])){
            now=fa[now];
        }
        ans[u]=now;
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=2;i<=n;++i){
        scanf("%d",&par);
        e[par].push_back(i);
    }
    dfs(1);
    while(q--){
        scanf("%d",&u);
        printf("%d\n",ans[u]);
    }
    return 0;
}

代码2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e5+10;
int n,q,u,par,fa[N],ans[N],sz[N],f[N];//重儿子的大小
vector<int>e[N];
void dfs(int u){
    ans[u]=u;sz[u]=1;
    int mx=0,pos=-1;
    for(int v:e[u]){
        fa[v]=u;
        dfs(v);
        sz[u]+=sz[v];
        if(sz[v]>mx){
            mx=sz[v];
            pos=v;
        }
    }
    f[u]=mx;
    if(f[u]*2>sz[u]){
        int now=ans[pos];
        while((sz[u]-sz[now])*2>sz[u]){
            now=fa[now];
        }
        ans[u]=now;
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=2;i<=n;++i){
        scanf("%d",&par);
        e[par].push_back(i);
    }
    dfs(1);
    while(q--){
        scanf("%d",&u);
        printf("%d\n",ans[u]);
    }
    return 0;
}