Codeforces Round #587 (Div. 3) E.Numerical Sequence(easy:前缀和+二分 hard:等差数列+分段+二分)

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Code92007/article/details/104296630

题目

给定一个数列，1 12 123 1234，无限往后延伸，到10的时候10算两个字符，以此类推

q(q<=500)个询问，第i次询问第ki个字符是什么

①easy version: ki<=1e9

②hard version: ki<=1e18

题解

相同的思想是，先二分去掉二重前缀，确定k落在一个1到x的段里，把1到x-1前面所有段都减掉

再二分一次去掉单重前缀，确定k落在[1,x]段的y值上，把1到y-1前面所有值都减掉

最后用sprintf把y值搞进字符串，输出第k位即可

Easy：

~~天下好题一大抄，UVA10706原题警告~~

考虑到N大概到3W多，就会出现1e9字符，所以可以按值做

统计a[i]统计1到x需要多少字符，sum[i]对a[i]求前缀和，先二分sum再二分a最后输出第k个值

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=35000;
int q,k,pos;
ll a[N],sum[N];
char s[11];
void init()
{
	for(int i=1;i<N;++i)
	{
		a[i]=a[i-1]+log10(i)+1;
		sum[i]=sum[i-1]+a[i]; 
	}	
}
int main()
{
	init();
	scanf("%d",&q);
	while(q--)
	{
		scanf("%d",&k);
		pos=lower_bound(sum,sum+N,k)-sum;
		k-=sum[pos-1];
		pos=lower_bound(a,a+N,k)-a;
		k-=a[pos-1];
		sprintf(s+1,"%d",pos);
		printf("%c\n",s[k]);
	}
	return 0;
}

Hard：

由于k到1e18，所以大概值大概到1e9，上述方法不可取，考虑按位做

L[i]，R[i]分别确定i位的数的左右界，左闭右开，如L[2]代表10，R[2]代表100

l[i]，r[i]用于确定i位的数最小和最多需要多少位，如l[2]代表1到10的位数和，r[i]代表1到99的位数和

sum[i]代表小于等于i位的所有的字符的个数和，sum[2]代表1 12 ...到以99结尾的字符和

多了一次对位数的分类讨论，先枚举出所在段[1,left]的位，减去前面比left小的位的和

再用等差数列搞掉和left相等的位的和，然后说明k落在[1,left]里的值上，

此时令right=left，left=1，再开始二分y值，把[1,y-1]的值都减掉

减掉的方法，可以纵向统计每个位出现的个数，在cal函数里

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int q;
ll sum[10],l[10],r[10],L[10],R[10],k,ans,lef,rig;
char s[11];
void init()
{
	ll now=1;
	for(int i=1;i<=9;++i,now*=10)
	{
		L[i]=now;R[i]=10*L[i];//[L[i],R[i])
		l[i]=r[i-1]+i;r[i]=r[i-1]+(R[i]-L[i])*i;
		sum[i]=sum[i-1]+(l[i]+r[i])*(R[i]-L[i])/2;
	}
}
ll cal(ll mid)
{
	ll v=0;
	for(int j=1;j<=9;++j)
	{
		if(mid>=L[j])v+=mid-L[j]+1;
		else break;
	}
	return v;
}
int main()
{
	init();
	scanf("%d",&q);
	while(q--)
	{
		scanf("%lld",&k);
		int i;
		for(i=1;i<=9;++i)
			if(sum[i]>=k)break;
		k-=sum[i-1];
		lef=L[i],rig=R[i];
		while(lef<=rig)
		{
			ll mid=(lef+rig)/2,v=l[i]+(mid-L[i])*i;
			if((l[i]+v)*(mid-L[i]+1)/2>=k)rig=mid-1;
			else lef=mid+1;
		}
		k-=(l[i]+l[i]+(lef-1-L[i])*i)*(lef-L[i])/2;
		rig=lef,lef=1;
		while(lef<=rig)
		{
			ll mid=(lef+rig)/2;
			if(cal(mid)>=k)rig=mid-1;
			else lef=mid+1;
		}
		k-=cal(lef-1);
		sprintf(s+1,"%lld",lef);
		printf("%c\n",s[k]);
	}
	return 0;
}