北京师范大学第十五届ACM决赛 D-Disdain Chain(哈密顿回路&竞赛图性质)

题目

思路来源

定理：任何竞赛图都有哈密顿路径，强连通的竞赛图有哈密顿回路

证明

任意竞赛图都有哈密顿path(A Tournament has a Hamiltonian path)_证明竞赛图中必存在哈密顿通路_unsolvedmys的博客-优快云博客

显然n<=2成立，下面证n>=3的情况

具体来说，假设已经存在一条1到n的哈密顿路径，起点为1，终点为n

考虑新加入第n+1个点，设为点x，下面证明仍能构成哈密顿路径

由于x和前n个点两两之间都有边，

不妨，把存在x->i边的点i，称为out点，存在i->x的边的点i，称为in点

1. 若点n为out点，只需把x放在n后

2. 若点1为in点，只需把x放在1前

3. 否则，点1为out点，点n为in点，必存在i，使得点i为out点，而点i+1为in点

这样存在边i->x->(i+1)，只需把x插在这个位置即可，得证

题解

竞赛图，相当于对C(n,2)条边的完全图定向，定为有向图

由定理，对于任意竞赛图，最长链长度都为n

所以，长度为1到n-1时输出0，为n时输出2的C(n,2)次方

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n;
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<n;++i)puts("0");
        printf("%lld\n",1ll<<(1ll*n*(n-1)/2));
    }
   return 0;
}