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欧拉降幂算法解析

最新推荐文章于 2024-09-23 03:49:01 发布

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#欧拉降幂 #欧拉函数

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本文深入探讨了一种高效的算法——欧拉降幂算法，该算法适用于处理大规模数据集上的模幂运算，尤其是在处理b<phi[p]的特殊情况时。文章通过分析bzoj3884和南京网络赛题目的解决方案，展示了如何将模数讨论融入快速幂运算中，同时提供了详细的代码实现。

题目

n(n<=1e5)个数，第i个数为wi(1<=wi<=1e9)，给出一个模数m(1<=m<=1e9)

q(q<=1e5)个询问，每次给出l,r(1<=l<=r<=n)，求 $w_{l}^{w_{l+1}^{w_{...}^{w_{r}}}}\mod m$

思路来源

https://www.cnblogs.com/ACMLCZH/p/8117161.html?tdsourcetag=s_pctim_aiomsg

题解

神奇的欧拉降幂，且说明了之前的欧拉降幂板子的局限性

事实上，bzoj3884和南昌邀请赛的b>=phi[p]都是恒成立的，

而这题同南京网络赛，有b<phi[p]的情况，所以把这种对模数的讨论，放入快速幂

剩下的是裸的欧拉降幂和欧拉函数

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath> 
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=3e6+10; 
const int N=1e5+10;
bool ok[maxn];
int prime[maxn],phi[maxn],cnt;
int n,m,q,l,r,w[N];
map<int,int>p;
void sieve()
{ 
    phi[1]=1;
	for(ll i=2;i<maxn;++i)
	{
		if(!ok[i])
		{
			prime[cnt++]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=0;j<cnt;++j)
		{
			if(i*prime[j]>=maxn)break;
			ok[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//prime[j]是i的因子 prime[j]的素因子项包含在i的素因子项里
				break; 
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//prime[j]与i互质 phi[i*prime[j]=phi[i]*phi[prime[j]]
		}
	}
}
int getphi(int x)
{
	if(x<maxn)return phi[x];
	if(p.count(x))return p[x];
	int ans=x;
	for(int i=0;i<cnt;++i)
	{
		if(1ll*prime[i]*prime[i]>x)break;
		if(x%prime[i]==0)ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1);
		while(x%prime[i]==0)x/=prime[i];
	}
	if(x>1)ans=ans/x*(x-1); 
	return p[x]=ans;
}
ll Mod(ll x,int mod)
{
	return x<mod?x:x%mod+mod; 
}
ll modpow(ll x,ll n,int mod)
{
	ll ans=1;
	for(;n;n/=2,x=Mod(x*x,mod))
	if(n&1)ans=Mod(ans*x,mod);
	return ans;
}
ll f(int l,int r,int mod)//
{
	if(l==r||mod==1)return Mod(w[l],mod);
	return modpow(w[l],f(l+1,r,getphi(mod)),mod);
}
int main()
{
	sieve();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	scanf("%d",&w[i]);
	scanf("%d",&q);
	while(q--)
	{
		scanf("%d%d",&l,&r);
		printf("%I64d\n",f(l,r,m)%m);
	}
	return 0;
}