[BZOJ2142]礼物（扩展Lucas定理+中国剩余定理）

最新推荐文章于 2023-02-24 19:29:46 发布

Clove_unique

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分类专栏：题解中国剩余定理组合数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Clove_unique/article/details/54573522

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本文介绍了一种解决组合数学问题的方法，使用扩展Lucas定理与中国剩余定理结合的算法来处理非质数模意义下的组合计算问题。通过具体代码实现展示了如何高效地计算特定条件下多项式系数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

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题解

很简单的题吧 $C_n^{w_1}*C_{n-w_1}^{w_2}*C_{n-w_1-w_2}^{w_3}...\% P$
P不一定是质数所以用扩展lucas+中国剩余定理合并（http://blog.youkuaiyun.com/clove_unique/article/details/54571216）

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long

LL MOD,P,n,w[10],sum,now,ans;
int m;

LL fast_pow(LL a,LL p,LL Mod)
{
    LL ans=1LL;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (!b) x=1LL,y=0LL;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
LL inv(LL A,LL Mod)
{
    if (!A) return 0LL;
    LL a=A,b=Mod,x=0LL,y=0LL;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    if (!x) x+=b;
    return x;
}
LL Mul(LL n,LL pi,LL pk)
{
    if (!n) return 1LL;
    LL ans=1LL;
    for (LL i=2;i<=pk;++i)
        if (i%pi) ans=ans*i%pk;
    ans=fast_pow(ans,n/pk,pk);
    for (LL i=2;i<=n%pk;++i)
        if (i%pi) ans=ans*i%pk;
    return ans*Mul(n/pi,pi,pk)%pk;
}
LL C(LL n,LL m,LL Mod,LL pi,LL pk)
{
    if (m>n) return 0LL;
    LL a=Mul(n,pi,pk),b=Mul(m,pi,pk),c=Mul(n-m,pi,pk);
    LL k=0LL,ans;
    for (LL i=n;i;i/=pi) k+=i/pi;
    for (LL i=m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    for (LL i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    ans=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*fast_pow(pi,k,pk)%pk;
    return ans*(Mod/pk)%Mod*inv(Mod/pk,pk)%Mod;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&MOD);
    scanf("%lld%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;++i) scanf("%lld",&w[i]),sum+=w[i];
    if (n<sum) {puts("Impossible");return 0;}
    ans=1LL;
    for (int j=1;j<=m;++j)
    {
        n-=w[j-1];P=MOD;
        now=0LL;
        for (LL i=2;i*i<=P;++i)
            if (P%i==0)
            {
                LL pk=1LL;
                while (P%i==0) pk*=i,P/=i;
                now=(now+C(n,w[j],MOD,i,pk))%MOD;
            }
        if (P>1) now=(now+C(n,w[j],MOD,P,P))%MOD;
        ans=ans*now%MOD;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}