《剑指offer》第2章 03-15题解

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原创最新推荐文章于 2026-06-11 09:27:00 发布 881 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

Python版剑指Offer题解 Python版剑指Offer题解本题解配合leetcode中剑指Offer刷题使用参考链接：图解算法数据结构文章目录剑指 Offer 03. 数组中重复的数字剑指 Offer 04. 二维数组中的查找剑指 Offer 05. 替换空格剑指 Offer 06. 从尾到头打印链表剑指 Offer 07. 重建二叉树剑指 Offer 09. 用两个栈实现队列剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题剑指 Offer 11. 旋转数组的最小数字剑指 Offe 阅读详情

第二章面试需要的基础知识

1. 数组

剑指 Offer 03. 数组中重复的数字

找出数组中重复的数字。在一个长度为 n 的数组 nums 里的所有数字都在 0～n-1 的范围内。数组中某些数字是重复的，但不知道有几个数字重复了，也不知道每个数字重复了几次。请找出数组中任意一个重复的数字。

输入：
[2, 3, 1, 0, 2, 5, 3]
输出：2 或 3

排序后扫描复杂度O(nlogn)
哈希表，空间复杂度O(n)，时间复杂度O(n)

原地哈希：有的元素多次重复，有的元素确实，使用原地哈希，其中某个正确元素一定在合适位置，那么遍历时每次比较当前元素是否与合适位置重复，如果没有重复，就把它放到合适位置。

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

    int findRepeatNumber(vector<int>& nums) {
        for(int i = 0;i < nums.size(); ++i){//从头到尾扫描
            if(nums[i] == i) continue;//如果nums[i]在合适的位置，继续向前扫描
            else{//如果不在合适位置
                if(nums[i] == nums[ nums[i] ]) return nums[i];//比较当前元素是否与合适位置的元素重复
                else swap(nums[i],nums[nums[i]]);//如果不重复，就把当前元素放到合适位置
            }
        }
        return 0;
    }

变形题：不修改数组找出重复数字

创建一个长度为n+1的辅助数组，逐一把原数组的元素m复制到新数组对应下标为m的位置，如果该位置已经被修改，那么该数字重复。空间复杂度O(n)。
二分法：以0 ~ n-1的中点m为界，小于m的数如果超过了m个，则说明前m个数中有重复的，相反则证明后m个数有重复。再以0~m-1为界，继续缩小范围，继续缩小范围，则能找到该重复的数。空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(nlogn)。以时间换空间。

剑指 Offer 04. 二维数组中的查找

在一个 n * m 的二维数组中，每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。请完成一个高效的函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否含有该整数。

现有矩阵 matrix 如下：
[
  [1,   4,  7, 11, 15],
  [2,   5,  8, 12, 19],
  [3,   6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]
给定 target = 5，返回 true。给定 target = 20，返回 false。

**解决一个复杂问题，通过分析简单具体的例子，试图寻找普遍规律。**发现从右上角开始分析作为突破口。

//从右上角遍历，比target小，就向下走，比target大，就往左走
    bool findNumberIn2DArray(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if(matrix.empty()) return false;
        int n = matrix.size(),m = matrix[0].size();
        int i = 0,j = m-1;
        while(i < n && j >= 0){
            if(matrix[i][j] == target) return true;
            else if(matrix[i][j] < target){
                ++i;
            }else{
                --j;
            }
        }
        return false;
    }

2. 字符串

每个字符串都以字符‘\0’结尾，所以要注意越界。

剑指 Offer 05. 替换空格

请实现一个函数，把字符串 s 中的每个空格替换成"%20"。

输入：s = "We are happy."
输出："We%20are%20happy."

第一种：在原来字符的基础上进行修改，那么就有可能覆盖修改该字符后面的内容。所以需要把空格后面的所有字符都后移2字节。因为每个空格后面的所有字符都要移动，所以时间复杂度是O(n^2)
第二种：创建一个新的足够多的字符串，在新的字符串上进行复制。建立双指针，从后往前，旧指针指向旧字符串末尾，新指针指向新字符串末尾，碰到空格，旧指针-1，新指针-3；碰到字符，将对应字符复制到新字符串处。

是否高度警惕内存覆盖

    string replaceSpace(string str) {
        if(str.empty()) return "";
        int count = 0;//统计空格的个数
        for(auto & s:str){
            if(s == ' ') ++count;
        }
        int last = str.size()-1,newlast = str.size()+2*count-1;//last指向原数组末尾，newlast指向新数组末尾
        string res(newlast+1,'0');
        while(last >= 0){
            if(str[last] == ' '){//如果碰到空格,替换成“%20”
                --last;
                res[newlast--] = '0';
                res[newlast--] = '2';
                res[newlast--] = '%'; 
                continue;
            }
            res[newlast] = str[last];
            --last;
            --newlast;
        }
        return res;
    }

3.链表

剑指 Offer 06. 从尾到头打印链表

输入一个链表的头节点，从尾到头反过来返回每个节点的值（用数组返回）。

输入：head = [1,3,2]
输出：[2,3,1]

这道题第一反应是反转链表，修改指针指向，但这样子会改变原来链表的结构。

面试中如果打算修改输入的数据，一定要提前询问面试官是否允许修改。

考虑到不能修改原链表结构，采用从头到尾遍历，用栈存储每次遍历结果，最后出栈。
用递归来实现。每访问到一个结点的时候，先递归输出它后面的结点，再输出该结点自身，这样链表的输出结果就反过来了。当链表非常长的时候，就会导致函数调用的层级很深，从而有可能导致函数调用栈溢出。显式用栈基于循环实现的代码的鲁棒性要好一些。

    vector<int> reversePrint(ListNode* head) {
        vector<int> res;
        stack<int> sk;
        if(!head) return res;
        while(head){
            sk.push(head->val);
            head = head->next;
        }
        while(!sk.empty()){
            res.emplace_back(sk.top());
            sk.pop();
        }
        return res;
    }

4.树

剑指 Offer 07. 重建二叉树

输入某二叉树的前序遍历和中序遍历的结果，请重建该二叉树。假设输入的前序遍历和中序遍历的结果中都不含重复的数字。

前序遍历 preorder = [3,9,20,15,7]
中序遍历 inorder = [9,3,15,20,7]
返回如下的二叉树：
    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

前序遍历第一个值3为根节点，将这个节点new出来。在中序遍历中快速找到3的坐标，那么3之前就是左子树的节点，3之后就是右子树的节点，那么分别递归左子树和右子树的前序，中序数组范围，为了方便快速找到某个元素在中序遍历中位置，建立hashmap映射元素和坐标的关系。

做了很多遍这个题，但最后return左右子树的范围时还是会犯错。

    TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {
        if(preorder.empty() || inorder.empty() ) return nullptr;
        unordered_map<int,int> hash;
        for(int i = 0;i < inorder.size(); ++i){
            hash[ inorder[i] ] = i;
        }
        return rebuildTree(preorder, hash, 0, preorder.size()-1, 0, inorder.size()-1 );
    }

    TreeNode* rebuildTree(vector<int>& preorder, unordered_map<int,int> &hash, int preStart, int preLast, int inStart, int inLast){
        if(preStart > preLast || inStart > inLast) return nullptr;
        int val = preorder[preStart];//根节点的值
        TreeNode * node = new TreeNode(val);
        int inIndex = hash[val];//中序遍历中根节点的坐标
        int leftlength = inIndex - inStart;//左子树长度
        node->left = rebuildTree(preorder, hash, preStart + 1, preStart + leftlength, inStart, inIndex-1);
        node->right = rebuildTree(preorder, hash,preStart + leftlength + 1, preLast, inIndex + 1, inLast);
        return node;
    }

5.栈和队列

剑指 Offer 09. 用两个栈实现队列

两个栈：一个栈输入，作为主要存储，一直push。当需要delete时，另一个栈作为辅助输出，如果输出栈不为空，则删除栈顶元素；如果输出栈为空，则将输入栈全部出栈到输出栈，再删除栈顶元素。注意每次是输出栈全部被delete以后，再将输入栈新一轮的元素压栈。

class CQueue {
private:
    stack<int> input,output;
public:
    CQueue() {}
    
    void appendTail(int value) {
        input.push(value);
    }
    
    int deleteHead() {
        in2out();
        if(output.empty()) return -1;//注意这里需要判断，output为空，return-1
        int res = output.top();
        output.pop();
        return res;
    }
     //将输入栈的全部数据一次弹出，并压入输出栈中，这样子输出栈的顺序就是队列的顺序
    void in2out(){
        if(output.empty()){
            while(!input.empty()){
                int temp = input.top();
                input.pop();
                output.push(temp);
            }
        }
    }
};

变形题：用两个队列实现栈

每次要存入一个元素，先入队1，再把队2中的元素全部出队，并入队1，最后再交换队列1和队列2，这样子队列2中队首元素永远是最新存入的元素。从而实现先入先出。

6.递归和循环

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

一开始会考虑递归解法。如下图所示，这棵树有很多节点是重复的，而且重复节点数会随着n的增大急剧增加。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-gjCwLS6Q-1621498837164)(images/image-20210519145352047.png)]

所以最好是把已经得到的数列中间项保存起来，下次计算的时候先查找一下。类似动态规划中的空间压缩。

    int fib(int n) {
        if(n < 2) return n;
        long long f0 = 0;//前两个状态的值
        long long f1 = 1;//前一个状态的值
        long long fN = 0;//当前状态值
        for(int i = 2;i <= n; ++i){
            fN = (f1 + f0)%1000000007;//当前状态值只与前两个状态有关
            f0 = f1;
            f1 = fN;
        }
        return fN;
    }

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

输入：n = 7
输出：21

到达当前台阶有两种方法，第一种是从上一个台阶跳一个，或者是从上两个台阶跳两个，所以当前台阶的跳法是上一个台阶和上两个台阶跳法之和dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

/*
    int numWays(int n) {
        if(n < 2) return 1;
        vector<int> dp(n+1,0);//dp[i]表示当前第i级台阶总共有多少种跳法
        dp[0] = 1;//0阶台阶有1种跳法
        dp[1] = 1;//1阶台阶有一种跳法
        for(int i = 2;i <= n;++i){
            dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2])%1000000007;
        }
        return dp[n];
    }
    */
    //类似斐波那契，进行空间降压缩
    int numWays(int n){
        if(n < 2) return 1;
        int step0 = 1,step1 = 1,stepN = 0;
        for(int i = 2;i <= n; ++i){
            stepN = (step0 + step1)%1000000007;
            step0 = step1;
            step1 = stepN;
        }
        return stepN;
    }

剑指 Offer 11. 旋转数组的最小数字

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。

输入：[3,4,5,1,2]
输出：1

在旋转数组里求最小值，最小值应该是旋转的分界线。利用二分法：当前中点，如果它指向的值小于等于右端，那么右区间是排好序的；反之，那么说明左区间是排好序的。
这个题难点在于：如果数组中存在重复元素，有可能出现中点值==右端值时，无法判断哪个区间是排好序，需单独right–。相当于区间遍历。

    int minArray(vector<int>& numbers) {
        int left = 0, right = numbers.size()-1;
        int minNum = numbers[right];
        while(left <= right){
            int mid = (left + right)/2;
            minNum = min(minNum,numbers[mid]);
            if(numbers[mid] < numbers[right]){//右半段正常顺序，最小值可能在左半段
                right = mid-1;
            }else if(numbers[mid] > numbers[right]){//左半段正常顺序，最小值可能在右半段
                minNum = min(minNum,numbers[left]);
                left = mid+1;
            }else{//如果相等，无法确定哪半段是正常顺序
                --right;
            }
        }
        return minNum;
    }

7.回溯法

剑指offer12. 矩阵中的路径

给定一个 m x n 二维字符网格 board 和一个字符串单词 word 。如果 word 存在于网格中，返回 true ；否则，返回 false 。

单词必须按照字母顺序，通过相邻的单元格内的字母构成，其中“相邻”单元格是那些水平相邻或垂直相邻的单元格。同一个单元格内的字母不允许被重复使用。

输入：board = [["A","B","C","E"],["S","F","C","S"],["A","D","E","E"]], word = "ABCCED"
输出：true

    bool exist(vector<vector<char>>& board, string word) {
        if(word.empty()) return true;
        if(board.empty() || board[0].empty()) return false;
        int m = board.size(),n = board[0].size();
        vector<vector<bool>> visited(m, vector<bool>(n,false));//falg标志每个字符是否作为单词的一部分
        bool isFind = false;
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                traceBack(board, word, visited, 0, i, j, isFind);
                if(isFind) return true;
            }
        }
        return false;
    }
    void traceBack(vector<vector<char>>& board, string &word, vector<vector<bool>> &visited, int pos, int i, int j, bool & isFind){
        if(i < 0 || i >= board.size() || j < 0 || j >= board[0].size()) return;//如果越界，返回
        if(visited[i][j] || isFind || board[i][j] != word[pos]) return;//访问过的，或已经找到了，或当前查找不匹配的，返回
        if(pos == word.size()-1){//当前查找字符 刚好为 最后一个匹配，表示找到该单词
            isFind = true;
            return;
        }
        visited[i][j] = true;
        traceBack(board, word, visited, pos + 1, i - 1, j, isFind);//上
        traceBack(board, word, visited, pos + 1, i + 1, j, isFind);//下
        traceBack(board, word, visited, pos + 1, i, j - 1, isFind);//左
        traceBack(board, word, visited, pos + 1, i, j + 1, isFind);//右
        visited[i][j] = false;//回溯修改状态
    }

地上有一个m行n列的方格，从坐标 [0,0] 到坐标 [m-1,n-1] 。一个机器人从坐标 [0, 0] 的格子开始移动，它每次可以向左、右、上、下移动一格（不能移动到方格外），也不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于k的格子。例如，当k为18时，机器人能够进入方格 [35, 37] ，因为3+5+3+7=18。但它不能进入方格 [35, 38]，因为3+5+3+8=19。请问该机器人能够到达多少个格子？

输入：m = 2, n = 3, k = 1
输出：3

根据数位和增量公式得知，数位和每逢进位突变一次。根据此特点，矩阵中满足数位和的解构成的几何形状形如多个等腰直角三角形，由于机器人一次只能走一步，而三角形之间不一定是联通的，因此机器人不一定能够到达所有满足数位的点。由于不可达解的存在，不能直接遍历统计多个三角形的面积。

机器人从坐标（0，0）开始，当准备进入坐标（i，j)时，先判断是否越界，或已经访问过，或不满足数位，如果不能进入，返回0，面积无变化；如果可以进入，修改已经访问该点，并对相邻的其他四个方向进行搜索，且面积+1。

    int movingCount(int m, int n, int k) {
        if(!k) return 1;
        vector<vector<bool>> visited(m,vector<bool>(n,false));//是否已经到达
        return traceBack(visited, 0, 0, k);
    }
    int traceBack(vector<vector<bool>> & visited, int i, int j, int &k){
        if(i < 0 || i >= visited.size() || j < 0 || j >= visited[0].size() || visited[i][j] || getSum(i) + getSum(j) > k) return 0;
        //越界，已经访问过，和大于k，return 0
        visited[i][j] = true;//把已经访问过的修改为true
        return 1 + traceBack(visited, i - 1, j, k) + traceBack(visited, i + 1, j, k) + traceBack(visited, i, j - 1, k) + traceBack(visited, i, j + 1, k);
    }
    int getSum(int num){//计算某个数各个位之和
        int sum = 0;
        while(num){
            sum += num%10;
            num /= 10;
        }
        return sum;
    }

8.动态规划与贪婪算法

剑指 Offer 14- I. 剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

这里的dp[1],dp[2],dp[4]不是真正长度为1，2，3以后被剪的最优解，由于是乘积，乘1相当于无效，所以给前三个状态提前存好初始值。dp[4] = max(1*3 , 2*2 , 3*1) = 4``dp[5] = max(1*4, 2*3 = = 6即dp[n] = max(dp[i] * dp[n-i])

    int cuttingRope(int n) {
        if(n < 2) return 0;//如果绳子长为0，1，最大乘积为0
        if(n <= 3) return n-1;//如果绳子长为2，乘积为1；长为3，乘积为2
        vector<int> dp(n+1,0);//长度为i的绳子被剪以后的最优解
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for(int i = 4; i <= n; ++i){
            for(int j = 1; j <= i/2; ++j){
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] * dp[i-j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }

剑指 Offer 14- II. 剪绳子 II

使用贪心算法解决上题：绳子长度>=5时，剪成长度为3的每小段；绳子长度==4，剪成长度为2的两小段。

    int cuttingRope(int n) {
        if(n < 2) return 0;
        if(n <= 3) return n-1;
        long res = 1;
        while(n>4){//当绳子长度>4的时候多全部剪成3d
           res = ( res * 3 )%1000000007;
           n -= 3;
        }
        return ( res*n) %1000000007;
    }

9.位运算

剑指 Offer 15. 二进制中1的个数

请实现一个函数，输入一个整数（以二进制串形式），输出该数二进制表示中 1 的个数。例如，把 9 表示成二进制是 1001，有 2 位是 1。因此，如果输入 9，则该函数输出 2。

输入：00000000000000000000000000001011
输出：3

右移运算时。如果数字是无符号数，则用0填补高位；如果是有符号数，则用符号位填补高位。例如数字原先是负数，右移之后在左边补n个0。

/*注意：把n右移，与1做&运算，可能会导致死循环，因为无符号数右移，高位补0，但如果是负数，右移后，高位补1；
方法1：所以此题应该是把1左移，直到左移32次以后，变成0
    int hammingWeight(uint32_t n) {
        int count = 0;
        uint32_t flag = 1;
        while(flag){
            if( n&flag ) ++count;
            flag <<= 1;
        }
        return count;
    }*/
/*方法1中无论有几个1，都要运行32次。
方法2：整数中有几个1就运行几次。
把一个整数减1，再和原整数做与运算，会把原整数最右侧的1变成0，那么一个二进制数有几个1就可以做几次这个运算。
*/
    int hammingWeight(uint32_t n) {
        int count = 0;
        while(n){
            ++count;
            n = (n-1)&n;
        }
        return count;
    }

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