oj_18.03.25

1.半数集问题

问题描述：

 给定一个自然数n，由n开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下。
(1) n∈set(n)；
(2) 在n的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；
(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。
例如，set(6)={6,16,26,126,36,136}。半数集set(6)中有6 个元素。
注意半数集是多重集。

 对于给定的自然数n，编程计算半数集set(n)中的元素个数。 

个人分析：这是一个递推问题，因为存在关系

因此很轻松地可以编写出代码。这里有一个技巧，就是如果是要求取大量的（比如从1到1000）的半数集的元素个数，用上述递推公式则会重复求取前面求过的半数集的元素个数，因此有个小诀窍就是把已经求好的值放进一个很大的数组比如s[1000]，该数组初始化全部元素为0，因此只需要判断s数组中如果元素大于零那么直接可以得到set(n) = s[n]。此外，注意边界条件，set(1) = 1。

代码如下：

int HalfSet(int n){
	if(n == 1) return 1;
	else{
		int sum = 1;
		for(int i=1;i<=n/2;i++) sum += HalfSet(i);
		return sum;
	}
}

2.士兵站队问题

问题描述：

   在一个划分成网格的操场上，n个士兵散乱地站在网格点上。网格点由整数坐标(x,y)表示。士兵们可以沿网格边上、下、左、右移动一步，但在同一时刻任一网格点上只能有一名士兵。按照军官的命令，士兵们要整齐地列成一个水平队列，即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何选择x 和y的值才能使士兵们以最少的总移动步数排成一列。请编写程序计算使所有士兵排成一行需要的最少移动步数。

个人分析：题目要求排成水平队列，即最终他们的纵坐标相同，横坐标相互间隔为1。因此，确定纵坐标是比较简单的，只需要求min(|y1-y0|+|y2-y0|+....+|yn-y0|)，y0很明显是y1到yn间的中位数（数学证明很简单）。而横坐标我们需要确认队列第一个人的横坐标，然后其他人的坐标就能推出。同理，求出min(|x1-x0|+|x2-(x0+1)|+....+|yn-(y0+n-1)|) ，上式也可以转化为min(|x1-x0|+|(x2-1)-x0|+....+|((xn-(n-1))-x0|)，可以先对各点的x坐标做相应处理再求中位数，最后再用公式求出移动步数。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

struct point{
	int x;
	int y;
};
/*这是插入排序*/
void SortY(point *p,int len){
	int i,j;  
    int key;  
	for(i = 1;i<len;i++){  
		key = p[i].y;  
        /*insert A[i] into the sequence A[1,...i-1]*/  
        j=i-1;  
		while(j >= 0 && p[j].y > key){  
			p[j+1].y = p[j].y;  
            j = j-1;  
        }  
		p[j+1].y = key;  
    } 

}
void SortX(point *p,int len){
	int i,j;  
    int key;  
	for(i = 1;i<len;i++){  
		key = p[i].x;  
        /*insert A[i] into the sequence A[1,...i-1]*/  
        j=i-1;  
		while(j >= 0 && p[j].x > key){  
			p[j+1].x = p[j].x;  
            j = j-1;  
        }  
		p[j+1].x = key;  
    } 

}

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	point *p=new point[n];
	for(int i=0;i<n;i++) cin>>p[i].x>>p[i].y;
	SortY(p,n);
	SortX(p,n);
	int ym = p[n/2].y;
	int movesum = 0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		movesum += int(abs(double(p[i].y)-double(ym)));
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
		p[i].x = p[i].x - i;
	}
	SortX(p,n);
	int xk = p[n/2].x;
	for(int i=0;i<n;i++){
		movesum += int(abs(double(p[i].x)-double(xk)));
	}
	cout<<movesum;
}

3.双色汉诺塔问题

问题描述：

设A、B、C是3 个塔座。开始时，在塔座A 上有一叠共n 个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1，2，……，n，奇数号圆盘着蓝色，偶数号圆盘着红色，如图所示。现要求将塔座A 上的这一叠圆盘移到塔座B 上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：
规则(1)：每次只能移动1 个圆盘；
规则(2)：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；
规则(3)：任何时刻都不允许将同色圆盘叠在一起；

规则(4)：在满足移动规则(1)-(3)的前提下，可将圆盘移至A，B，C 中任一塔座上。

试设计一个算法，用最少的移动次数将塔座A 上的n个圆盘移到塔座B 上，并仍按同样

对于给定的正整数n，编程计算最优移动方案。

个人分析：看似很复杂，问题实际与汉诺塔没区别。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
void move(int n,char source,char target){
	cout<<n<<" "<<source<<" "<<target<<endl;
}
void hanoi(int disks, char source,char temp, char target){
    if (disks == 1){
        move(disks,source,target);
     } 
	else{
        hanoi(disks-1,source,target,temp);
		move(disks,source,target);
        hanoi(disks-1,temp, source,target);
    }
}
int main(){
	int disks;
	cin>>disks;
	hanoi(disks,'A','C','B');
}