分治之求排列的逆序数

关于问题

描述

在Internet上的搜索引擎经常需要对信息进行比较，比如可以通过某个人对一些事物的排名来估计他（或她）对各种不同信息的兴趣，从而实现个性化的服务。

对于不同的排名结果可以用逆序来评价它们之间的差异。考虑1,2,…,n的排列i1，i2，…，in，如果其中存在j,k，满足 j < k 且 ij > ik， 那么就称(ij,ik)是这个排列的一个逆序。

一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列 263451 含有8个逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此该排列的逆序数就是8。显然，由1,2,…,n 构成的所有n!个排列中，最小的逆序数是0，对应的排列就是1,2,…,n；最大的逆序数是n(n-1)/2，对应的排列就是n,(n-1),…,2,1。逆序数越大的排列与原始排列的差异度就越大。

现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。

输入

第一行是一个整数n，表示该排列有n个数（n <= 100000)。
第二行是n个不同的正整数，之间以空格隔开，表示该排列。

输出

输出该排列的逆序数。

样例输入

6
2 6 3 4 5 1

样例输出

8

解决方法

思路：

采用分治的思想
（1）将数组分成两半，分别求出左半边的逆序数计和右半边的逆序数
（2）再计算有多少逆序是左半边取一个数和右半边取一个数所构成的
（3）整个部分的逆序数等于三者之和

重点：

如何在O(n)时间内实现（2）
关键：我们要求左半边和右半边都是排好序的，比如都是从大到小排序，这样，左右半边只需要从头到尾各扫描一遍，便可实现（2）

注意：

结果可能超过int的范围，需要用long long存储。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[100005];
int b[100005]; 
long long Count(int a[],int s,int m,int e)
{
    long long num = 0;
    int i = s,j = m+1;
    while(i <= m && j <= e)
    {
        if(a[i] <= a[j])
            ++j;
        else
        {
            num += e-j+1;
            ++i;
        }       
    }
    return num;
} 
void Merge(int a[],int s,int m,int e,int tmp[])
{
    int pb = 0;
    int p1 = s,p2 = m+1;
    while( p1 <= m && p2 <= e)
    {
        if(a[p1] > a[p2])   //从大到小 
            tmp[pb++] = a[p1++];
        else
            tmp[pb++] = a[p2++];
    }
    while( p1 <= m)
        tmp[pb++] = a[p1++];
    while( p2 <= e)
        tmp[pb++] = a[p2++];
    for(int i = 0;i < e-s+1; ++i)
        a[s+i] = tmp[i];    
}
long long MergeSortandCount(int a[],int s,int e,int tmp[])
{
    if(s < e)
    {
        int m = s+(e-s)/2;
        long long left  = MergeSortandCount(a,s,m,tmp);
        long long right = MergeSortandCount(a,m+1,e,tmp);
        long long landr = Count(a,s,m,e);
        Merge(a,s,m,e,tmp);
        return left + right + landr;
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int size;
    scanf("%d",&size);
    for(int i=0;i < size;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    printf("%lld\n",MergeSortandCount(a,0,size-1,b));
    return 0;
}