题解：P3375 【模板】KMP （显眼包）

不得不承认，@皎月半洒花大佬讲的比我规范，但看不懂的话可以看看我的。

用途

在字符串初级算法里，而其中最经典的模型问题就是判断一个串是否是另一个串的子串。我们常用 KMP 算法解决这类问题。

题目描述

给定两个字符串 $s_1$ 和 $s_2$，求出 $s_2$ 在 $s_1$ 中所有出现的位置和 $s_2$ 的每个前缀 $s^{\prime }$ 的最长 border 的长度。。

在本题解中，我用 $n$ 代替 $|s_1|$（即 $s_1$ 的长度），用 $m$ 代替 $|s_2|$。

暴力匹配

枚举 $s_1$ 的每一个起始位置 $i(0\le i<n-m)$，看从 $i$ 位置开始往后长度为 $m$ 的子串是否是可以和 $s_2$ 匹配

判断两个串匹配成功的条件是：两个串长度一致，两个串每一个对应位置字符都完全一样。

本做法时间复杂度为 $O(nm)$，只能得 70 分，比总司令高。

更优做法：KMP

定义

定义一个字符串性质——前缀后缀最大值，即题目中要求的 border（让你求那多半要用）。

定义一个字符串 $s$ 的 border 为 $s$ 的一个非 $s$ 本身的子串 $t$，满足 $t$ 既是 $s$ 的前缀，又是 $s$ 的后缀。

我将字符串 $s$ 的前缀 $s^{\prime }$ 的最长 border 的长度称为 $nex{t}_{|s^{\prime }|}$，别问我为啥。

换句话说，$nex{t}_i$ 就是遍历到字符串 $s_2$ 的第 $i$ 位时，与已经匹配成功的部分的后缀相同的最大的长度。我代码中的 kmp[i] 就是 $nex{t}_i$。

匹配过程

举例说明，其中 $s_1$ 为 ABACABACABD，$s_2$ 为 ABACABD。

先将 $s_1$ 和 $s_2$ 的第一位对齐并看对应位是否相同，我们发现一路畅通，但最后一个匹配失败了。若这时对齐 $s_1$ 的第二位和 $s_2$ 的第一位将 $s_2$ 重新匹配一遍就成了暴力。

      i
ABACABACABD
ABACABD
      j

仔细回想 $next$ 定义发现：失配后，我们可以直接跳到 $nex{t}_j$，即与已匹配部分相同的 $s_2$ 最大前缀的最后一位的下一位，手动得出此时 $nex{t}_j=2$。然后就会变成这样：

      i
ABACABACABD
    ABACABD
      j

这样做，复杂度为 $O(n+m)$。

求 $next$

将 $s_2$ 自己和自己匹配，过程和上面相仿。匹配到 $j$ 失败时，记录 $nex{t}_i$ 为 $j$。匹配时一个字符串不动，另一个向后移，$i$ 为匹配到不动的 $s_2$ 的位置，$j$ 为匹配到要动的 $s_2$ 的位置。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+2;
int kmp[N],la,lb,j;
//kmp即Next数组,表示相同前缀后缀最大值(不是对称的最大值)
string a,b,A,B;

int main(){
	cin>>A>>B;
	a='\0'+A,b='\0'+B;
	la=a.size()-1,lb=b.size()-1;
	for(int i=2;i<=lb;i++){//求kmp
		while(j&&b[i]!=b[j+1]) j=kmp[j];
		if(b[j+1]==b[i]) j++;
		kmp[i]=j;
	}
	j=0;
	for(int i=1;i<=la;i++){//匹配
		while(j>0&&b[j+1]!=a[i]) j=kmp[j];
		if(b[j+1]==a[i]) j++;
		if(j==lb){printf("%d\n",i-lb+1);j=kmp[j];}
	}
	for(int i=1;i<=lb;i++) printf("%d ",kmp[i]);
	return 0;
}