ARC129 d-1+2-1

最新推荐文章于 2025-03-14 18:27:45 发布

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#算法

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本文介绍了一种算法，解决给定n个数的动态调整问题，通过最少的轮次操作，使得数组中每个元素最终变为0。关键步骤包括构造修改次数数组、确定最小操作次数和计算最终答案。通过代码实现详细展示了如何找到最优操作方案。

题目链接：

D - -1+2-1

题目大意：

给n个数，每轮可以选择第i个数，给a[i-1], a[i], a[i+1]分别加上-1，2，-1，问最少经过多少轮，使每个元素都为0。（a[0] = a[n],a[n + 1] = a[1])

解题思路：

我们很容易想到，如果 $\sum_{i = 1}^{n}a[i] != 0$ 无解

首先，我们令Ai为ai修改的次数（不一定最小Ai>=0）；

因此对于i，我们可以轻易的出； $2 * A[i] - A[i+1] - A[i] = -a[i]$ （1-1）

移项得： $(A[i+1]-A[i]) - (A[i] - A[i-1]) = a[i]$ （1-2）

令 $b[i] = A[i+1] - A[i]$ （2-1）

$\sum A[i]$ 是我们要求的答案，因此我们要求出b[i]

$b[i] - b[i-1] = a[i]$ （2-2）

累加可得：

$b[i] = \sum_{j = 1}^{i}a[j] + b[1] - a[1];$ （2-3）

再累加可得： $\sum_{i = 1}^{n}b[i] = n * (b[1] - a[1]) + i * \sum_{j = 1}^{i}a[i]$ （2-4）

整理可得：

$\sum_{i = 1}^{n}b[i] = n * b[1] - \sum_{i = 2}^{n}(n + 1 - i) * a[i]$ （2-5）

由公式（2-1）得

累加可得：

$\sum_{i= 1}^{n}b[i] = A[n + 1] - A[1] = 0$ （2-6）

带入公式（2-5）

$b[1] =\frac{\sum_{i = 2}^{n}(n + 1 - i) * a[i]}{n}$ （必须整除，不然无解） （2-7）

就可以由公式（2-3）得到数组b

回看前面数组A的定义，由于A[i]是第i个数的操作次数，又因为我们需要总操作次数最小。

这样的话，其实我们要找到一个数x，令A[x]=0，实际上对于每个i，答案最小为A[i] - A[x]。

总答案为 $\sum_{i = 1}^{n}A[i] - n * A[x]$

令c[i] = A[i] - A[x]；

为了方便计算，我们令x的初值为1，这样的话我们发现

对于i = 0，c[1] = 0;

对于i >= 2 $c[i] = c[i - 1] + b[i - 1]$ ;

因此要找到一个x满足 $\sum_{i = 1}^{n}A[i] - n * A[x]$ 最小

即找到最小的c[i]为minn,对于每个c[i] -= minn

再将c[i]求和就为答案 $\sum_{i = 1}^{n}A[i] - n * A[x]$

代码实现:

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1, 0);
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }
    if (sum) {
        cout << "-1";
        return 0;
    }
    sum = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        sum += (n + 1 - i) * a[i];
    }
    if (sum % n) {
        cout << "-1";
        return 0;
    }
    sum *= -1;
    vector<int> b(n + 1);
    b[1] = (sum / n);
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        b[i] = a[i] + b[i - 1];
    }
    vector<int> c(n + 1, 0);
    int minn = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        c[i] = c[i - 1] + b[i - 1];
        minn = min(c[i], minn);
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        c[i] -= minn;
        ans += c[i];
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}