数据结构与算法之美【8】-递归算法

目录

一、概述

二、示例分析

三、小结

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一、概述

递归严格说起来不算一种算法，只能说是一种问题处理思想或者问题处理技巧。只要问题同时满足以下三个条件，就可以考虑用递归来解决：

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解
2.  这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
3.  存在递归终止条件

个人觉得，写递归代码最关键的是写出递推公式，找到终止条件，找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

二、示例分析

下面举一个例子，然后一步一步实现一个递归代码，帮你理解递归思想：

假如这里有 n 个台阶，每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？

解析：

我们先假设n个台阶有x个走法，即x = f(n)。

对于第一步，我们有两种走法：

1. 走1个台阶，剩余n-1个台阶。
2. 走2个台阶，剩余n-2个台阶。

所以由此我们可以推导出f(n)=f(n-1) + f(n-2)，递归格式我们已经推导出来了，下面我们再来分析一下终止条件：

随着我们不同走法，最后台阶要么剩下1个，要么剩下2个，如果是1个，很简单，下一步只能走1个台阶，即f(1)=1。如果剩余2个台阶，下一步我们有两个选择，即一次走两个台阶和两次每次走1个台阶，即f(2) = 2。

综上，递推公式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

终止条件为：f(1) = 1或者f(2) = 2

 有了递推公式和终止条件，我们就可以以此写出代码了，但在写递归代码时候，需要注意以下两点：

1. 警惕堆栈溢出，如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。
2. 要警惕重复计算，可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的 f(k)。
3. 函数调用耗时多、空间复杂度高

参考代码如下：

int f(int n) {
    if (1 == n||0 == n) {
        return 1;
    } else {
        return (f(n - 1) + f(n - 2));
    }
}

三、小结

递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足“三个条件”的问题就可以通过递归代码来解决。编写递归代码的关键就是正确姿势是写出递推公式，找出终止条件，然后再翻译成递归代码。递归代码虽然简洁高效，但是，递归代码也有很多弊端。比如，堆栈溢出、重复计算、函数调用耗时多、空间复杂度高等，所以，在编写递归代码的时候，一定要控制好这些副作用。