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本文探讨如何通过动态规划方法解决寻找三角形中从顶点到底部的最小路径和的问题。通过实例演示，从给定的三角形结构出发，采用一维数组进行动态规划，逐步计算出最优路径和。重点介绍了初始化方法、内部循环逻辑以及最终返回结果的过程，旨在提供一种高效求解路径问题的算法策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:

Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

考虑题中所给例子，转换成index来看是这样的

0 0

1 0 1

| \ | \

2 0 1 2

| \ | \ | \

3 0 1 2 3

用一维dp的话，初始化为最下面一层，从左往右遍历， dp[i][j] = min(dp[i +1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j],

外层循环从最底下那层到第一层，（i = triangle.size() - 1 ~ 0）

观察上图可以得知内层循环（j = 0 ~ i）

每次写入dp[j]的时候会用到上一层的dp[j], dp[j + 1], 写入当前层的dp[j]并不会覆盖dp[j + 1]，所以一位数组就足够了

public class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        if(triangle == null || triangle.size() == 0){
            return 0;
        }
        int size = triangle.size();
        int[] dp = new int[triangle.get(size - 1).size()];
        for(int i = 0; i < dp.length; i++){
            dp[i] = triangle.get(size - 1).get(i);
        }
        
        for(int i = size - 2; i >= 0; i--){
            for(int j = 0; j <= i; j++){
                dp[j] = triangle.get(i).get(j) + Math.min(dp[j], dp[j + 1]);
            }
        }
        
        return dp[0];
    }
}