ABC215H 题解

枯了，想出来第一问不会第二问了 /kk

Description

传送门

Solution

Part 1: 图论建模

首先考虑，假设 Snuke 一个卷心菜都不吃，那么如何判断 Takahashi 能否成为卷心菜大师。

考虑网络流。

• $\forall i$，从 $S$ 到 $i_L$ 连一条流量为 $A_i$ 的边
• $\forall (i,j)$，若 $c_{i,j}=1$，从 $i_L$ 向 $j_R$ 连一条流量为 $\infty$ 的边
• $\forall j$，从 $j_R$ 向 $T$ 连一条流量为 $B_j$ 的边。

在这个图上跑最大流即可。若最大流等于 ${\sum }_{j=1}^m{B}_j$，那么 Takahashi 可以成为卷心菜大师，否则无法成为卷心菜大师。

Part 2: 第一问

首先，根据最大流最小割定理，我们只需要考虑最小割。

注意到左侧的点只有 $n(n\le 20)$ 个，我们可以暴力枚举其子集 $T$ 表示左侧没有被割掉的边。那么，$\forall i_L\in T,c_{i,j}=1$，需要割掉 $j_R\to T$；同时，$\forall i_L\notin T$，需要割掉 $S\to i_L$。

先考虑前者对最小割的贡献。注意到，这个贡献就是所有满足在给定行集中至少有一位为 $1$ 的列 $j$ 的 $B_j$ 之和。形式化地说，其贡献 $f_T$ 就是：

∑ j = 1 m B j × ⊕ i ∈ T { c i , j } \sum_{j=1}^m B_j \times \oplus_{i \in T} \{c_{i,j}\} j=1∑m​Bj​×⊕i∈T​{ci,j​}

怎么对于每个 $T$ 都把它求出来呢？注意到，这些 $j$ 的贡献是独立的，所以我们可以枚举一列，并处理该列对所有 $T$ 的贡献。然而直接考虑贡献较为困难，所以我们先假设该列能对所有的 $T$ 产生贡献，再将那些无法被产生贡献的 $f_T$ 扣去 $B_j$。

那么哪些 $T$ 无法被产生贡献呢？令第 $j$ 列中所有为 $0$ 的位置组成了集合 $P$，那么 $\forall T\in P$ 都无法被产生贡献。所以，我们可以额外定义标记数组 $g$，并在 $g_P$ 处加上 $-B_j$；那么，对于某个 $f_T$ 而言，其真实要被扣掉的值就是所有满足 $T\in S$ 的 $g_T$ 之和。其可以在枚举完所有的 $j$ 之后通过一遍 FWT 大力求出。

再考虑后者对最小割的贡献。为方便叙述，我们令前者的贡献为 $x$，且 $y={\sum }_{i\notin T}{A}_i$，且 $L={\sum }_{i\in T}{B}_i$，那么后者的贡献加上 $x$ 必须严格小于 $L$。从而，我们只需要将一些不属于 $T$ 的 $A_i$ 进行扣除，使得 ${\sum }_{i\in T}{A}_i+x<L$。

显然，我们只需要将 ${\sum }_{i\notin T}{A}_i$ 由 $y$ 改为 $L-x-1$ 即可。因此，Snuke 此时最少需要吃掉的卷心菜片数为 $an{s}_T=y-(L-x-1)$。特别的，若 $L-x-1<0$，那么无法完成任务，即钦定 $an{s}_T=\infty$。

综上所述，我们只需要将所有 $an{s}_T$ 取 $\min$ 即为第一问的答案。时间复杂度 $O(2^{n}n+nm)$。

Part 3: 第二问

令第一问的答案为 k = min ⁡ T { a n s T } k=\min_T\{ans_T\} k=minT​{ansT​}。

若一个集合 $T$ 对应的最少吃的次数恰好为 $k$，那么存在若干种操最优操作方案。答案是不是就是下面的值呢？

$$\sum _T[an{s}_T=k]\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\sum }_{i\notin T}{A}_i}{k}\right)$$

可以发现，若有多个满足 $an{s}_T=k$ 的 $T$ 且它们有交，那么可能会出现重复计算的情况。因此它不是最终的答案。

但是，注意到，对于某个 $S$ 而言，若其是某个 $T$ 的子集，那么将所有不属于 $S$ 的 $A_i$ 和减小 $k$ 且每个不属于 $S$ 的 $A_i$ 都要被扣去至少一的方案数之和就是答案。

因此，我们可以通过一次 FWT 变换对于每个 $S$ 判断其是否为至少一个满足 $an{s}_T=k$ 的 $T$ 的子集，并预处理出这个方案数，那么答案就是所有在第一个条件满足的前提下的 $T$ 对应的方案数之和。

具体实现的时候，可以通过容斥+FWT 求出方案数。

总复杂度 $O(2^{n}n+nm)$，本题被解决。