有上下界的网络流——全家桶详解，后附例题

引言

$\lfloor$ 给定一个网络图与其源点、汇点，每条边都有其流量的上限。请你求出它的网络最大流。$\rceil$

这一道题目大家一定可以看出——这不是裸的最大流吗！跑一遍 Dinic 就完事啦！

但是，如果我们将题目进行一个转化：

$\lfloor$ 给定一个网络图与其源点、汇点，每条边都有其流量的上限以及下限。请你求出它的网络最大流。$\rceil$

这时，每条边都有了其流量的上下界，使用 Dinic 直接做似乎较为困难。

于是，本篇文章主要解决边流量有上下界的问题。

Part 1: 无源汇上下界可行流

Description

$n$ 个点，$m$ 条边，每条边都有一个流量下界和流量上界 。求一条可行流，使得在所有点满足 $\lfloor$ 流量平衡 $\rceil$ 的前提下，所有边满足流量限制。

$1\le n\le 200,1\le m\le 10200$

Solution

一种初步的想法是：将旧网络图中每条边的流量，定义为其上界减去下界；从而组成新网络图。然后直接在新网络图搜出可行流即可。

但是这么做会出现一个致命的问题：旧图中对应的 $\lfloor$ 实际流量 $\rceil$ 不满足 $\lfloor$ 流量平衡 $\rceil$ 。例如：

原图中 $1\to 2\to 3$ 不是可行流，但在新图中它却成为了一条可行流。

仔细分析一下这一个反例，我们会发现：在新图中 $1\to 2$ 流了 $20$ 个单位，在原图中对应着 $40$ ；$2\to 3$ 流了 $20$ 个单位，在原图中对应着 $70$ ，不满足流量平衡，从而出现了上面的反例。

考虑通过建立一些 $\lfloor$ 虚边 $\rceil$ 使得对应的原图满足流量平衡。

令第 $i$ 个点的点权 $a_i$ 为其 $\lfloor$ 所有入边的下界和 $\rceil$ 减去 $\lfloor$ 其所有出边的下界和 $\rceil$。

1. 若 a i > 0 a_i >0 a