误差函数(Error Function)的推导与物理意义

误差函数(Error Function)的推导与物理意义

1. 误差函数的定义

误差函数(Error Function)定义为：
$$\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$$

互补误差函数(Complementary Error Function)：
$$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2}dt$$

2. 数学推导

2.1 从高斯积分出发

考虑高斯积分：
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

通过极坐标变换可证明该积分值。将积分限改为[0,x]：
$$\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$$

2.2 级数展开

对$e^{-t^2}$进行泰勒展开后逐项积分：
$$\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{n!(2n+1)}$$

2.3 渐近展开（大x近似）

$$\text{erfc}(x)\approx \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi }}\left(1-\frac{1}{2x^2}+\frac{3}{4x^4}-\cdots \right)$$

3. 基本性质

3.1 对称性

$$\begin{gathered} \text{erf}(-x)=-\text{erf}(x) \\ \text{erf}(0)=0,\text{erf}(\infty )=1 \end{gathered}$$

3.2 导数关系

$$\frac{d}{dx}\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}$$

3.3 积分关系

$$\int \text{erf}(x)dx=x\text{erf}(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+C$$

4. 物理意义与应用

4.1 扩散过程

在Fick扩散定律的解中，浓度分布常表示为：
$$c(x,t)=c_0\text{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$$

• $x$：距界面距离
• $D$：扩散系数
• $t$：时间

4.2 概率统计

描述正态分布的累积概率：
$$P(X\le x)=\frac{1}{2}\left[1+\text{erf}\left(\frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}\right)\right]$$

4.3 热传导

一维热传导方程的解包含误差函数：
$$T(x,t)=T_0\text{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)$$
$\alpha$为热扩散系数

5. 特殊函数关系

相关函数	关系式
正态分布	$\Phi (x)=\frac{1}{2}[1+\text{erf}(x/\sqrt{2})]$
虚误差函数	$\text{erfi}(x)=-i\text{erf}(ix)$
Fresnel积分	$C(z)+iS(z)=\frac{1+i}{2}\text{erf}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}(1-i)z\right)$

6. 数值计算

6.1 近似公式

$$\text{erf}(x)\approx 1-(a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3)e^{-x^2},t=\frac{1}{1+px}$$
($p=0.47047$, $a_1=0.3480242$, $a_2=-0.0958798$, $a_3=0.7478556$)

PS

Q：为什么要有2/√π这个系数？
A：为了让erf(∞)=1，这样更便于概率计算

Q：误差函数和正态分布什么关系？
A：标准正态分布Φ(x) = [1 + erf(x/√2)]/2

Q：什么时候会用到这个函数？
A：只要涉及"逐渐累积"的过程都会用到，比如：热量传播；粒子扩散；信号传输