【转载】我们怎么理解导数？

参考：马同学马同学提供线性代数,微积分,概率论与数理统计,机器学习等知识讲解https://www.matongxue.com/madocs/243/

        在我学习微积分的过程中，我对导数的认知经历了三次变化：（1）导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度；（2）导数是用来找到“线性近似”的数学工具；（3）导数是线性变换。

        我认为第一种认知比较片面，在多元函数的情况下甚至是错误的。第二种认知更接近微积分的本质，第三种认知是为了实现第二种认知发展出来的。因为种种原因，我们的学习都是从第一种认知开始的。我会在本文分别介绍一下这三种认知。最后会通过第三种认知回答“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”

1、导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度

        微积分的发明人之一是牛顿，牛顿主要还是研究物理为主，微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具（大师就是这么厉害）。因为牛顿研究物理的缘故，所以牛顿用变化率的方式引入了导数（牛顿称之为“流数”）。在物理里面变化率还是很自然的概念，比如为了求瞬时速度：

 

同理，求加速度的话就是求速度对于时间的变化率，这里就不赘述了。学习物理的一般习惯把导数看作变化率。还可以顺便得到了切线的斜率：

 我们一般是上面这样的学习过程，所以我们认为，导数是曲线的变化率、是瞬时速度、是加速度，还可以是切线的斜率。

但是！把导数看作是变化率、是切线的斜率，在一元函数的时候是正确的，但是，敲黑板，说但是了哈。在二元函数中，比如这样一个曲面上的一点a，在曲面上可以做无数条过a点的曲线（图上随便画了三根）：

 

把导数看作是变化率、是切线的斜率，在多元函数中是片面的，甚至是不正确的。我们必须要重新审视“导数是什么”这个问题。顺便说一下，把导数继续看作变化率，切线的斜率，可以得到偏导数、方向导数、全导数，可以参看我之前写过的一个回答：什么是全导数？ - 知乎

导数是用来找到“线性近似”的数学工具。讲这个之前，我们要先理解微积分的基本思想。这个思想在我的很多回答中都提到了，这里简单的阐述下。

2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具

2.1 微积分的基本思想

微积分的基本思想是“以直代曲”： 

“以直代曲”的意思就是，切线可以在切点附近很好的近似曲线： 

 如果在曲线上多选几个点，都作出附近的切线，我们可以透过切线看到曲线的轮廓：

切线可以在切点附近很好的近似曲线。如果仔细看泰勒公式、洛必达法则等，还会通过代数发现这一事实。

2.2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具

因为“以直代曲”是微积分的基础，所以我们首要任务就是要找到这个“直”，也就是切线，也就是所谓的“线性近似”。导数就是为了完成这个任务需要使用的数学工具。我们来看看，在一元函数中：

 因此，在一元函数中，我们把导数看作斜率，可以找到我们想要的“线性近似”（切线），但是在二元中，我们需要新的技术手段。

3 导数是线性变换

3.1 二元函数的“线性近似”

导数最主要的目的是找到“线性近似”，在一元函数的时候是要找到切线，在二元函数的时候是要找到一个切平面（可以参考我之前的回答：求解全微分的意义？最好感性一点的认识 - 知乎)

3.2 线性变换

对线性代数不熟悉的话，可以先看下我之前的回答 如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念？ - 知乎。下面就会用到大量的线性代数基础知识，我不再进行解释了。还是从一元的时候开始推：

 

 

3.3 通过导数A来找到切平面 

 

 至此，导数完成了找到“线性近似”的任务。这里也很自然的回答了“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”