洛谷P1846 游戏-DP

最新推荐文章于 2024-11-02 22:09:18 发布

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本文介绍了一种通过动态规划解决游戏策略问题的方法，目标是最小化两个数列操作过程中的总得分。通过调整数列中数值并利用DP，文章详细阐述了如何找到最优解。

传送门

题意：

给定两个正整数数列，你要用它们来做一个游戏：你需要对数列进行若干次操作，每一次操作，应选择两个正整数 $k_1$ 和 $k_2$ ，并删除第一个数列的最后 $k_1$ 个数，计算出它们的和 $s1$ ；删除第二个数列的最后 $k2$ 个数，计算出它们的和 $s2$ 。这一次操作的得分就是 $(s_2-k_2 )*(s_1-k_1 )$ 。两个数列应同时被清空，不允许一个数列空了，而另一个数列中还有数。游戏的总得分就是每一次操作的得分总和。

求最小的总得分。

Solution:

首先我们把两个数列的权值-1，这样每次操作的得分就转换为了 $s_1*s_2$

探索一波题目性质：对于连续的两次操作 $a_1*a_2$ ， $b_1*b_2$ ，如果我们合并他们，那么他们的权值变为 $(a_1+b_1)*(a_2+b_2)$

显然合并后的值是劣于合并前的，所以我们需要使我们操作的次数尽可能多，因为两个数列的长度不一样，所以我们每次操作一定会是一个数列选一个，另一个数列选一个或多个

然后就可以dp啦： $f[i][j]$ 表示第一个数列已经拿了i个数，第二个数列已经拿了j个数的方案数

转移即为 $f[i][j]=min(f[i-1][j-1],f[i][j-1],f[i-1][j])+a[i]*b[j]$

$f[i][j-1]$ 和 $f[i-1][j]$ 表示“选择多个数”

这种看起来难以处理的题，一般都会有一个性质，探索出性质后题目就会变得很简单了

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m;
int a[2010],b[2010];
long long f[2010][2010];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]--;
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]),b[i]--;
    memset(f,63,sizeof(f));
    f[0][0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            f[i][j]=min(f[i][j],min(f[i][j-1],min(f[i-1][j],f[i-1][j-1]))+a[i]*b[j]);
    printf("%lld",f[n][m]);
}