【转】POJ 1159 Palindrome【经典的DP回文问题】

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原题链接：http://poj.org/problem?id=1159

博文转载链接： http://blog.sina.com.cn/s/blog_6d79d83a01016iqg.html

Palindrome

Time Limit: 3000MS		Memory Limit: 65536K
Total Submissions: 45704		Accepted: 15580

Description

A palindrome is a symmetrical string, that is, a string read identically from left to right as well as from right to left. You are to write a program which, given a string, determines the minimal number of characters to be inserted into the string in order to obtain a palindrome.

As an example, by inserting 2 characters, the string "Ab3bd" can be transformed into a palindrome ("dAb3bAd" or "Adb3bdA"). However, inserting fewer than 2 characters does not produce a palindrome.

Input

Your program is to read from standard input. The first line contains one integer: the length of the input string N, 3 <= N <= 5000. The second line contains one string with length N. The string is formed from uppercase letters from 'A' to 'Z', lowercase letters from 'a' to 'z' and digits from '0' to '9'. Uppercase and lowercase letters are to be considered distinct.

Output

Your program is to write to standard output. The first line contains one integer, which is the desired minimal number.

Sample Input

5
Ab3bd

Sample Output

Source

IOI 2000

题意：给你一个字符串，你可以在这个字符串的任意位置插入一个字符，现在要求最少要插入多少个字符才能使这个字符串变成回文的。

分析：很经典的DP，在刘汝佳的书里也应该有提到这题。这题是我AC的第一个区间dp题，AC这题后自己也对区间dp有了一定的了解。好了，废话不多说了，现在开始讲解法：

对于一个字符串序列S1,S2,S3……Sn 想要将它变成回文的，注意！！不要想得太复杂，其实我们只能在字符串的两端添加字符（这儿要仔细想想，想通了，这题就变得容易了），在字符串当中添加字符是完全没有意义的，所以对于当前的状态，我们只可能遇到2种可能的情况，我们来归纳一下：

1.当S1==Sn时（字符串头字符和字符串尾部字符相等时），我们的任务便转换为了将S2,S3,S4……S(n-1)变成回文，对吗？

2.当S1!=Sn时，我们又有了两种决策

第一种决策：在字符串序列S1,S2,S3……Sn 的左边添加一个字符，我们设这个字符为Si，使它等于Sn，这样我们就将当前的任务转化为了将S1,S2,S3……S(n-1)变成回文字符串。

第二种决策：在字符串序列S1,S2,S3……Sn 的右边添加一个字符，我们设这个字符为Sk，使他等于S1，这样我们就将当前的任务转化为了将S2,S3,S4……Sn变成回文字符串。

根据这个思路，我们很快就能写出递归代码（我加了记忆化）：

int DFS(int l,int r){        //l和r表示：从当前字符串的第l个字符到当前字符串的第r个字符变成回文字符串所需要的最小代价
    if(l>=r) return 0;
    if(dp[l][r]!=-1)  //记忆化
     return dp[l][r];
    int M=99999999;
    if(str[l]==str[r])   //第一种情况
      M=DFS(l+1,r-1);
    else{    //第二种情况
      M=min(M,DFS(l,r-1)+1);
      M=min(M,DFS(l+1,r)+1);
    }
    return dp[l][r]=M;   //记忆化
}

不过我们遇到了一个很严重的问题：字符串的长度是一个小于5000的数字，但是要是字符串的长度到达了5000，我们岂不是要开一个5000*5000的数组吗？一开始我对这个问题也没什么办法，最后听dicuss中说可以把数组的类型开到short就能过，改了以后就过了。当然，这不是正解，正解是用滚动数组，可以将空间从O(n^2)优化到O(n)，不失为一个好办法。不过我写得是记忆化DFS，所以不能用滚动数组。

我代码（1922ms AC）：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
char str[5005];
short int dp[5005][5005];
int DFS(int l,int r){
   if(l>=r) return 0;
   if(dp[l][r]!=-1)
    return dp[l][r];
   int M=99999999;
   if(str[l]==str[r])
     M=DFS(l+1,r-1);
   else{
     M=min(M,DFS(l,r-1)+1);
     M=min(M,DFS(l+1,r)+1);
   }
   return dp[l][r]=M;
}
int main()
{
   int len;
   while(scanf("%d",&len)!=EOF){
       scanf("%s",str+1);
       memset(dp,-1,sizeof(dp));
       cout<<DFS(1,len)<<endl;
   }
   return 0;
}

照着原样写了个，惭愧。。。

//Accepted	49400K	1516MS	C++	599B	2013-03-15 19:19:43
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 5000 + 5;
short int dp[maxn][maxn];
char str[maxn];

int dfs(int l, int r)
{
	if(l >= r) return 0;
	if(dp[l][r] != -1) return dp[l][r];
	
	int M;
    if(str[l] == str[r])
	{
		M = dfs(l+1, r-1);
	}
	
	else
	{
		M = min(dfs(l, r-1) + 1, dfs(l+1, r) + 1);
	}
	
	return  dp[l][r] = M;
}
int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		memset(str,'0',sizeof(str));
		memset(dp,-1,sizeof(dp));
		
		scanf("%s", str+1);
		printf("%d\n", dfs(1,n));
	}
	return 0;
}